[論文レビュー] Actors in categories of interest

J. M. Casas, Tamar Datuashvili+1 more|ArXiv.org|Feb 20, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、群、リー代数、ライブニッツ代数、結合代数などの関心のカテゴリにおけるアクター（作用を表す普遍対象）を構成するための圏論的枠組みを確立する。A がアクターを持つための必要十分条件は、半直積 𝔹(A) ⋉ A がカテゴリに属することであると証明しており、𝔹(A) は双微分作用素および双乗算子の普遍代数として構成される。

ABSTRACT

For an object $A$ of a category of interest $\mathbb{C}$ we construct the group with operations ${\mathfrak{B}}(A)$ and the semidirect product ${\mathfrak{B}}(A)\ltimes A$ and prove that there exists an actor of $A$ in $\mathbb{C}$ if and only if ${\mathfrak{B}}(A)\ltimes A \in \mathbb{C}$. The cases of groups, Lie, Leibniz, associative, commutative associative, alternative algebras, crossed and precrossed modules are considered. The paper contains some results for the case $Ω_2 = \{+,*,*^{\circ}\}$.

研究の動機と目的

• 群論における自己同型群の概念を一般化し、関心のカテゴリにおける対象のアクターを定義・構成すること。
• リー代数、ライブニッツ代数、結合代数などの代数的構造におけるアクターの存在に関する圏論的基準を確立すること。
• 普遍代数および導来作用を用いて、非アーベルな代数的カテゴリ全体にわたるアクターの概念を統一すること。
• アクターの存在に必要な十分条件（例：条件1および条件2）を同定すること。
• 代表可能な作用の枠組みを非アーベル構造に拡張するため、𝔹(A) の構成と A への作用を含めること。

提案手法

• 関心のカテゴリに属する任意の対象 A に対して、双微分作用素および双乗算子の普遍代数 𝔹(A) を構成する。
• 𝔹(A) が A に作用する導来作用を定義し、A を操作付き群の圏における 𝔹(A)-加群とする。
• 操作付き群の圏における半直積 𝔹(A) ⋉ A を構成し、これは普遍的構成である。
• A → 𝔹(A) が元の圏 𝒞 においてアクターであるための必要十分条件は、𝔹(A) ⋉ A ∈ 𝒞 であることであると証明する。
• ライブニッツ代数における条件1と結合代数における条件2を導入・分析し、𝔹(A) が A に作用する導来作用であることを保証する。
• 二項演算 * の定義を示す公理1および公理2を用いて、特に可換性または反可換性を伴う場合のアクター存在の十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関心のカテゴリに属する対象 A が、その作用を表す普遍対象（アクター）を持つための条件は何か？
• RQ2 操作付き群の圏における半直積が得られるように、普遍代数 𝔹(A) をどのように構成すればよいか？
• RQ3 ジャコビ恒等式、結合律、可換性などの代数的恒等式が、半直積 𝔹(A) ⋉ A が元の圏 𝒞 に属し続けるために必要な十分条件は何か？
• RQ4 リー代数、ライブニッツ代数、結合代数などの関心のカテゴリにおいて、𝔹(A) の構成が真のアクターをもたらすのはどの場合か？
• RQ5 二項演算 * にかかわる恒等式が、𝔹(A) が A に作用する導来作用が適切に定義され、普遍的であることを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 関心のカテゴリに属する対象 A がアクターを持つための必要十分条件は、半直積 𝔹(A) ⋉ A がカテゴリ 𝒞 に属することである。
• 群では 𝔹(A) ≅ Aut(A) であり、リー代数では 𝔹(A) ≅ Der(A) であるため、既知の普遍的構成と整合的である。
• ライブニッツ代数では、アクターが存在するのは、条件1が成り立つ場合に限る：すべての a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C に対して [c,[a,b]] = -[c,[b,a]] が成り立つ。これは 𝔹(A) が A に作用する導来作用を保証する。
• 結合代数では、アクターが存在するのは、条件2が成り立つ場合に限る：すべての a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C に対して c*(a*b) = (c*a)*b が成り立つ。これは作用が導来であることを保証する。
• 可換性または反可換性を伴い、公理2が新たな恒等式を導かない場合、アクターの存在は、公理2の W( ) が T に属する各ペアから少なくとも1つの要素を含むことに等しい。
• 公理2に従い、結果として生じる恒等式がない場合（例：x*(y*z) = -y*(z*x) - z*(x*y) という恒等式を持つ場合）、アクターが存在するのは、W( ) が T に属する各ペアから少なくとも1つの要素を含むときである。