[論文レビュー] Acyclic Comprehension is equal to Stratified Comprehension

Zuhair Al-Johar, M. Randall Holmes|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2020

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、新基礎集合論（NF）における、変数の接続のグラフ的非巡回性によって定義される非巡回帰納法—つまり、非巡回論理式によって定義される集合の存在を主張するもの—が、古典的な階層的帰納法と論理的に同値であることを証明している。著者らは、非巡回論理式が、古典的な階層的基準と同一の集合存在の強度をもたらすことを示し、非巡回帰納法が階層的帰納法よりも厳密に弱いかどうかという長年の予想を解決した。

ABSTRACT

A new criterion of comprehension is defined, initially termed by myself as "connected" and finally as "Acyclic" by Mr. Randall Holmes. Acyclic comprehension simply asserts that for any acyclic formula phi, the set {x:phi} exists. I first presented this criterion semi-formally to Mr. Randall Holmes, who further made the first rigorous definition of it, a definition that I finally simplified to the one presented here. Later Mr. Holmes made another presentation of the definition which is also mentioned here. He pointed to me that acyclic comprehension is implied by stratification, and posed the question as to whether it is equivalent to full stratification or strictly weaker. He and initially I myself thought that it was strictly weaker; Mr. Randall Holmes actually conjectured that it is very weak. Surprisingly it turned to be equivalent to full stratification as I proved here

研究の動機と目的

• 新基礎集合論（NF）における、集合存在の新しい基準である非巡回帰納法が、古典的な階層的帰納法と同値であるかどうかを調査すること。
• ランダル・ホルムズが提起した未解決の問題、すなわち非巡回帰納法が階層的帰納法よりも厳密に弱いかどうかを解明すること。
• 相互含意の証明により、非巡回帰納法と階層的帰納法の間の形式的同値性を確立すること。
• 変数の関係のグラフ的接続性と非巡回性を用いて、非巡回論理式の明確な定義と特徴付けを行うこと。

提案手法

• 論理式 $\phi$ に対して、その変数を頂点とし、原子的接続（$ x \in y $, $ y \in x $, $ x = y $, $ y = x $）を辺とするグラフ $ G_{\phi} $ を定義する。
• グラフ $ G_{\phi} $ にサイクルが含まれない場合、その論理式を非巡回と定義する。これにより、変数が自身に戻る経路を持たないことを保証する。
• 階層的帰納法が非巡回帰納法を含意することを証明する。これは、$ G_{\phi} $ の連結成分から一意なパスを用いて、階層的分類を構成することで達成される。
• 非巡回帰納法が階層的帰納法を含意することを証明する。これは、非巡回帰納法と外延性公理から、階層的帰納法の有限公理化のすべての公理を導出することで達成される。
• ウィエナーの順序対と定義的道具立て（例：定義域、逆関係、相対的積）を用いて、非巡回帰納法のもとで標準的なNFの構造を再構築する。
• 非巡回帰納法のもとで、すべての必要な集合論的演算（補集合、和集合、直積、射影）が定義可能でかつ整合的であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非巡回帰納法は階層的帰納法よりも厳密に弱いか、それとも同値なのか？
• RQ2 階層的帰納法の公理は、非巡回帰納法と外延性公理から導出可能か？
• RQ3 変数の接続グラフに基づく非巡回性条件は、階層的基準の全強度を十分に捉えられるか？
• RQ4 非巡回帰納法と外延性公理のみを用いて、階層的帰納法の有限公理化を再構築可能か？

主な発見

• 新基礎集合論において、非巡回帰納法は論理的に階層的帰納法と同値である。
• 論理式におけるグラフ的非巡回性条件により、各変数がその成分内で一意なルートへのパスを持つことが保証され、一貫した階層的分類が可能になる。
• 階層的帰納法が非巡回帰納法を含意するのは、任意の階層的論理式が、階層的分類が変数の接続に木構造を誘導するため、自動的に非巡回的であるからである。
• 非巡回帰納法が階層的帰納法を含意するのは、非巡回帰納法と外延性公理から、階層的帰納法の完全な有限公理化を証明することで達成される。
• 強外延性および弱外延性の両方の下で証明が成立し、弱外延性の場合は $ 0 $ を $ V $ に置き換えるわずかな修正が要る。