[論文レビュー] Adaptation Implies Internal Model

Eduardo D. Sontag|ArXiv.org|Mar 21, 2002

Fault Detection and Control Systems参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、外部信号のクラスに適応する任意の非線形システムが、そのクラスに属するすべての信号を生成できる内部サブシステムを含む必要があることを証明している—適応性と内部モデルの間の基礎的リンクを確立している。やや緩い技術的条件下で、システムの出力がゼロに収束することは、出力にのみ駆動される内部モデル（サブシステム）の存在を示唆する。この内部モデルは座標変換とオメガ極限集合解析を用いて外部信号を再現する。これは線形系やロバストに安定な系に限定されない内部モデル原理の一般化である。

ABSTRACT

This note provides a simple result showing, under suitable technical assumptions, that if a system S adapts to a class of external signals U, then S must necessarily contain a subsystem which is capable of generating all the signals in U. It is not assumed that regulation is robust, nor is there a prior requirement for the system to be partitioned into separate plant and controller components.

研究の動機と目的

• 非線形システムにおける適応性が外部信号の内部モデルの存在を示す一般条件を確立すること。
• 内部モデル原理における構造的安定性（ロバスト性）や事前に定義されたプラント・コントローラ分解の必要性を排除すること。
• 微分幾何学および力学系理論を用いた最小限で自己完結的な証明を提供し、一般非線形システムに適用可能であること。
• 生物学的モデリングを支援するために、信号入力の内部モデルを含むか含まないかを区別できるようにすること。

提案手法

• 外部信号 u(t) を生成するエクソシステム Γ と元のシステム Σ を組み合わせた複合系モデルを用いる。w(t) はエクソシステムの状態を表す。
• オメガ極限集合解析を適用し、複合系の軌道が出力 h(x) = 0 となる状態に収束することを示し、出力ゼロ化動作を示す。
• グローバル微分同相写像 Φ を用いて、システムを内部モデル構造が明確に現れる標準形に変換する。
• 出力ゼロ化集合 Z = {x | h(x) = 0} とポincare安定性（Poisson 稳定性）を用い、出力をゼロに維持し、入力信号を追跡する解の存在を保証する。
• 任意の入力 u ∈ U に対して、変換された座標系における z1 および z2 の力学的挙動により、内部サブシステムが u を再現する解が存在することを示す。
• 線形系理論（補題 3.2）を適用し、可観測性のもとで内部モデルが、エクソシステムの力学を含むブロック対角形式に埋め込めることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロバスト性やコントローラ・プラント分離を仮定しない状況でも、外部信号のクラスに適応することは、その信号を生成できるサブシステムの存在を必然的に示唆するのか？
• RQ2 最小限の仮定のもとで、内部モデル原理を一般非線形システムに適用可能か？
• RQ3 内部モデルはどのようにシステム内に構造的に埋め込まれるのか？ その存在を保証する条件は何か？
• RQ4 オメガ極限集合と出力ゼロ化集合は、このような内部モデルの存在を証明するために果たす役割は何か？
• RQ5 適切な座標変換のもとで、内部モデルが存在するだけでなく、エクソシステムと同型であることを示せるか？

主な発見

• エクソシステムの初期状態 w0 に対して、任意の t ≥ 0 で出力 h(x(t)) ≡ 0 であり、内部状態 x(t) が出力ゼロ化集合 Z に常に留まるような複合系の解が存在する。
• システム Σ は、構造的安定性やコントローラ・プラント分解を仮定せずとも、クラス U に属するすべての信号を生成できるサブシステム Σim を含む必要がある。
• 内部モデルは出力 y(t) のみに駆動され、外部入力 u への直接アクセスがない。これは内部モデル原理の核心的要件を確認する。
• 変換された座標系では、z1 サブシステムは非線形入力項を伴う積分器の鎖に従って進化し、出力 y = ζ1 ≡ 0 であるため、最終状態 ζr は定数である。
• 各 u ∈ U に対して、関係式 b(0, z2(t)) + a(0, z2(t))u(t) ≡ 0 を満たす解が存在し、内部ダイナミクスが u を再現することを証明する。
• 可観測性のもとで、内部モデルはエクソシステムのダイナミクスを含むブロック対角形式に埋め込める。これにより、エクソシステムと内部モデルのサブシステムとの間の構造的同型性が示される。