[論文レビュー] Adapted numerical methods for the numerical solution of the Poisson equation with $L^2$ boundary data in non-convex domains

Thomas Apel, Serge Nicaise+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非凸領域における $L^2$ 境界データを伴うポアソン方程式に対して、標準的な有限要素法の収束次数がコーナー特異性のため低下する問題を解決するため、メッシュのグレーディングを用いた標準有限要素法および二重特異補完法（DSCM）の2つの適応手法を提案する。これらの手法により、$L^2$ 収束次数 $1/2$ が回復され、数値実験により収束次数が $1/2$ に近く、良好な結果が得られた。

ABSTRACT

The very weak solution of the Poisson equation with $L^2$ boundary data is defined by the method of transposition. The finite element solution with regularized boundary data converges in the $L^2(Ω)$-norm with order $1/2$ in convex domains but has a reduced convergence order in non-convex domains although the solution remains to be contained in $H^{1/2}(Ω)$. The reason is a singularity in the dual problem. In this paper we propose and analyze, as a remedy, both a standard finite element method with mesh grading and a dual variant of the singular complement method. The error order 1/2 is retained in both cases also with non-convex domains. Numerical experiments confirm the theoretical results.

研究の動機と目的

• 非凸領域における $L^2$ 境界データを伴うポアソン方程式の有限要素解について、$L^2$ ノルムにおける収束次数の低下を解消すること。
• 非凸領域において収束次数が $1/2$ 未満に低下する原因となる双対問題における特異性を克服すること。
• コーナー特異性の影響を受けても、最適な収束次数 $1/2$ を維持する数値的手法の開発および解析を行うこと。
• 内部角 $\omega \in (\pi, 2\pi)$ を有する領域における理論的収束速度を、数値実験によって検証すること。

提案手法

• 内部角 $\omega > \pi$ のコーナーに向かってメッシュを細かくするグレーディングメッシュを用いて、標準有限要素法を適応化し、グレーディングパラメータを $\mu = 2\pi/\omega - 1$ と設定する。
• 特異関数 $r^{-\lambda}\sin(\lambda\theta)$（$\lambda = \pi/\omega$）を含む有限要素空間の拡張を施した、特異補完法の双対版（DSCM）を導入する。
• 弱解が存在しないことおよび非同次ディリクレ境界条件を考慮した $L^2$-誤差推定を導出するために、修正されたアウビン＝ニツェ法を用いる。
• 特異関数を含む境界積分を正確に計算するために、$h_E \sim h r_E^{1-\mu}$ の関係を満たすグレーディングメッシュに適合した修正されたグレーディング則を用いる。
• 有限要素空間と整合性を持つように、$L^2$ 投影または準補間を用いて $L^2$ 境界データを正則化する。
• ディリクレ境界条件を $Y_h^\partial \subset H^1(\Omega)$ で近似する変分式を用いて、$Y_{*h} \subset H^1(\Omega)$ 内の離散問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸領域における $L^2$ 境界データを伴うポアソン方程式に対して、最適な $L^2$ 収束次数 $1/2$ が回復可能か。
• RQ2 標準有限要素法の収束次数を低下させる双対問題における特異性の役割は何か。
• RQ3 メッシュグレーディングおよび二重特異補完法は、コーナー特異性が収束に与える影響をどのように軽減するか。
• RQ4 $L^2$ 収束次数 $1/2$ を達成するための最適なグレーディングパラメータ $\mu$ は何か。

主な発見

• グレーディングパラメータを $\mu = 2\pi/\omega - 1$ に設定した標準有限要素法は、非凸領域においても $L^2$ 収束次数 $1/2$ を達成し、凸領域と同等の性能を示す。
• 二重特異補完法（DSCM）は、特異境界データが存在する非凸領域に対しても、$L^2$ 収束次数 $1/2$ を回復する。
• 数値実験により、両手法の収束次数が $1/2$ に近づくことが確認され、$ω = 270^\circ$ および $ω = 355^\circ$ の場合に観測された収束次数は $0.493$ から $0.498$ の範囲に収束した。
• DSCM解の $L^2$-誤差は、コーナーで無限大に発散するが、解の特異的挙動をより良く近似できるため、特異関数 $r^{-\lambda}\sin(\lambda\theta)$ の導入により改善される。
• グレーディングメッシュに適合した境界積分のための四則則を適切に調整しないと、四則則誤差が全体の誤差を支配してしまう。
• $ω = 270^\circ$ の場合、DSCMは $394241$ 個の未知数を用いて観測収束次数 $0.498$ を達成し、理論的値 $1/2$ に極めて近い結果を得た。