[論文レビュー] Adaptive and anisotropic finite element approximation : Theory and algorithms

Jean‐Marie Mirebeau|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 49被引用数 5

ひとこと要約

本博士論文は、固定の頂点数を持つ三角形分割の下での近似誤差を最小化することによって、適応的非等方的有限要素近似の理論的・アルゴリズム的基盤を確立する。滑らかな関数に対する漸近的誤差減少率を証明し、最適な適応と関連する関数クラスを同定し、離散最適化問題の連続的緩和を導出し、近似的に最適なメッシュを生成する階層的分離戦略を開発する。

ABSTRACT

Mesh adaption procedures for finite element approximation allows one to adapt the resolution, by local refinement in the regions of strong variation of the function of interest. This procedure plays a key role in numerous applications of scientific computing. The use of anisotropic triangles allows to improve the efficiency of the procedure by introducing long and thin triangles that fit in particular the directions of the possible curves of discontinuity. Given a norm X of interest and a function f to be approximated, we formulate the problem of optimal mesh adaptation, as minimizing the approximation error over all (possibly anisotropic) triangulations of prescribed cardinality. We address the four following questions related to this problem: I. How does the approximation error behave in the asymptotic regime when the number of triangles N tends to infinity, when f is a smooth function ? II. Which classes of functions govern the rate of decay of the approximation error as N grows, and are in that sense naturally tied to the problem of optimal mesh adaptation? III. Could this optimization problem, which is posed on triangulations of a given cardinality N, be replaced by an equivalent more tractable problem posed on a continuous object? IV. Is it possible to produce a near-optimal sequence of triangulations using a hierarchical refinement procedure?

研究の動機と目的

• 非等方的三角形分割を用いた最適メッシュ適応の厳密な数学的枠組みの構築。
• 要素数が増加する際の近似誤差の漸近的挙動の理解。
• 非等方的メッシュ適応と自然に整合する関数クラスの同定。
• 離散的メッシュ最適化問題をより取り扱いやすい連続的問題に再定式化すること。
• 近似的に最適な三角形分割を生成する階層的分離アルゴリズムの設計。

提案手法

• 所定の頂点数 N を持つすべての三角形分割の下で、最適なメッシュ適応問題を近似誤差の最小化問題として定式化する。
• 滑らかな関数に対する近似誤差の漸近的挙動を、N → ∞ の極限において分析する。
• Sobolev 空間および重み付き Sobolev 空間を、誤差の減少率を支配する関数クラスとして同定する。
• 非等方性を表現するためのリーマン計量を用いて、離散的最適化問題の連続的緩和を導入する。
• 連続的緩和に基づく後向き誤差推定子を導出し、階層的分離をガイドする。
• 連続的定式化から導かれる誤差指標に基づいて、要素を段階的に適応的に細分化するアルゴリズムを提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな関数に対して、三角形の数 N が無限大に近づく際、近似誤差はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 どの関数クラスが近似誤差の減少率を決定づけ、非等方的メッシュ適応と自然に整合するか？
• RQ3 離散的三角形分割最適化問題を、より取り扱いやすい連続的問題に置き換えられるか？
• RQ4 階層的分離戦略を用いて、近似的に最適な三角形分割の列を生成することは可能か？

主な発見

• 滑らかな関数に対して、最適な非等方的三角形分割を用いる場合、L^2 範囲における近似誤差は O(N^{-p/2}) の速度で減少する。
• 減少率は、重み付き Sobolev 空間における関数の正則性に支配され、正則性が高くなるほど収束速度が速くなる。
• 非等方性を符号化するリーマン計量を用いることで、離散的メッシュ最適化問題を効果的に連続的問題に緩和できる。
• 連続的緩和は、誤差推定の理論的基盤を提供し、効率的な分離アルゴリズムの設計をガイドする。
• 提案された階層的分離アルゴリズムは、与えられた関数クラスに関して、近似誤差の観点で理論的に近似的に最適な三角形分割を生成する。
• 数値実験により、本手法が最適収束率を達成し、方向的特徴を有する問題において、等方的メッシュよりも顕著に精度が向上することが確認された。