[論文レビュー] Adaptive estimation of the baseline hazard function in the Cox model by model selection, with high-dimensional covariates

Agathe Guilloux, Sarah Lemler+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2015

Statistical Methods and Inference参考文献 58被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、部分対数尤度に基づくラッソ推定を介した回帰パラメータの推定と、最小二乗型対数尤度のモデル選択を組み合わせた二段階的手順を用いて、高次元コックス比例ハザードモデルにおけるベースラインハザード関数の適応的推定を提案する。主な貢献は、次元が増加するにつれて推定誤差が増大することを示す非漸近的オラクル不等式による収束速度の確立である。

ABSTRACT

The purpose of this article is to provide an adaptive estimator of the baseline function in the Cox model with high-dimensional covariates. We consider a two-step procedure : first, we estimate the regression parameter of the Cox model via a Lasso procedure based on the partial log-likelihood, secondly, we plug this Lasso estimator into a least-squares type criterion and then perform a model selection procedure to obtain an adaptive penalized contrast estimator of the baseline function. Using non-asymptotic estimation results stated for the Lasso estimator of the regression parameter, we establish a non-asymptotic oracle inequality for this penalized contrast estimator of the baseline function, which highlights the discrepancy of the rate of convergence when the dimension of the covariates increases.

研究の動機と目的

• 高次元生存モデルにおけるベースラインハザード関数の非漸近的推定結果の不足を解消すること。
• 説得変数の数 p が標本サイズ n を超える状況で、ベースラインハザード関数を推定する二段階的手順を開発すること。
• モデル選択と集中不等式を用いて、ベースラインハザード推定量の理論的保証を確立すること。
• 高次元スパース性の下で、推定量の収束速度を定量化する非漸近的オラクル不等式を提供すること。
• ラッソによる回帰パラメータ推定とペナルティ付きモデル選択を組み合わせることで、ベースラインハザード推定量の適応性を確保すること。

提案手法

• 部分対数尤度にラッソペナルティを適用して、高次元回帰パラメータ β₀ を推定する。
• β₀ のラッソ推定量を、ベースラインハザード関数推定のための最小二乗型対数尤度関数に代入する。
• アカイケとマロウスの基準に基づくモデル選択手順を用いて、候補関数群から最良のベースラインハザード推定量を選択する。
• 非漸近的集中不等式と Huang ら (2013) の結果を活用して、ラッソ推定量の乖離を制御する。
• ベースラインハザード関数のペナルティ付き対数尤度推定量に対する非漸近的オラクル不等式を導出する。
• ドーブ＝マイヤー分解とマルティンゲールのベルンシュタイン不等式を用いて、推定誤差における経験過程項をバインドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 説得変数の数 p が標本サイズ n を超える状況で、コックスモデルにおけるベースラインハザード関数を一貫して推定する方法は何か？
• RQ2 高次元設定下での適応的ベースラインハザード関数推定量の非漸近的収束速度は何か？
• RQ3 最小二乗型対数尤度にモデル選択手順を適用することで、ベースラインハザード関数推定に対してオラクル不等式が得られるか？
• RQ4 真の回帰パラメータ β₀ のスパarsity が、ベースラインハザード関数の推定精度にどのように影響するか？
• RQ5 ラッソ推定とその後のモデル選択を組み合わせた二段階手順に対して、どのような理論的保証を確立できるか？

主な発見

• 提案された推定量は、ベースラインハザード関数の推定誤差を制御する非漸近的オラクル不等式を達成する。
• 推定誤差の上限における log(pnᵏ)/n に依存する項の増大により、次元が増加するにつれて推定量の収束速度が劣化することが示された。
• 高確率 1 - cn⁻ᵏ で、β₀ のラッソ推定量は |β̂ - β₀|₁ ≤ C(s)√(log(pnᵏ)/n) を満たす。ここで s はスパarsity インデックスである。
• 設計行列およびベースラインハザード関数の有界性に関する仮定の下で、ベースラインハザード推定量のオラクル不等式が導出された。
• 候補関数群内に真のモデルが存在する場合に最適な推定速度を達成できるように、最良のモデルを候補群から選択することで適応性を確保した。
• 理論的結果は非漸近的であり、p > n の場合でも成立し、従来の低次元領域を超えた拡張を可能にした。