[論文レビュー] Adaptive Euler-Maruyama Method for SDEs with Non-globally Lipschitz Drift: Part I, Finite Time Interval

Wei Fang, Michael B. Giles|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、非グローバルリプシッツ性を示すドリフト関数を有する確率微分方程式（SDEs）に対して、現在の解に依存する時間刻み幅を用いる適応的Euler-Maruyama法を提案する。この手法により、安定性が保証され、一般のSDEでは強収束次数 $1/2$、ユニット分散を有するランジュヴィンSDEでは強収束次数 $1$ を達成する。また、有限時間区間において期待されるステップ数が有限であることも示している。

ABSTRACT

This paper proposes an adaptive timestep construction for an Euler-Maruyama approximation of SDEs with a drift which is not globally Lipschitz. It is proved that if the timestep is bounded appropriately, then over a finite time interval the numerical approximation is stable, and the expected number of timesteps is finite. Furthermore, the order of strong convergence is the same as usual, i.e. order one-half for SDEs with a non-uniform globally Lipschitz volatility, and order one for Langevin SDEs with unit volatility and a drift with sufficient smoothness. The analysis is supported by numerical experiments for a variety of SDEs.

研究の動機と目的

• 非グローバルリプシッツ性を示すドリフト関数を有するSDEに適用した均一時間刻み幅のEuler-Maruyamaスキームにおける不安定性を解消すること。
• 安定性を維持するとともに、標準的な強収束次数を保つ適応的時間刻み幅戦略を開発すること。
• 適切な時間刻み幅の上限を課した場合に、有限時間区間における期待ステップ数が有限であることを証明すること。
• ドリフト関数が局所リプシッツかつ片側線形成長条件を満たすSDEに、収束理論を拡張すること。
• 適応的手法が、陰的または安定化スキームを必要とせずに、標準的手法と同等の強収束次数を達成できることを示すこと。

提案手法

• 本手法は、現在の近似解 $ \widehat{X}_{t_n} $ に依存する適応的時間刻み幅 $ h_n $ を用いる。具体的には、ドリフト関数のノルムに反比例するようにスケーリングされる。
• 時間刻み幅は、爆発的増大を防ぐために上限で制限され、ドリフト関数が非グローバルリプシッツであっても数値的安定性が保証される。
• 解の成長を制御するために、安定性関数として $ \|x\|^2 $ を用いたラプラシアン型の議論が分析に用いられる。
• 誤差解析において、ドリフト関数の局所的片側リプシッツ条件を用いて解の成長を制限する。
• 収束証明では、Burkholder-Davis-Gundyの不等式とGrönwallの不等式を用いて、誤差の期待値の上界を、その上界の期待値に対して評価する。
• 動的時間刻み幅制御により安定性を確保しつつ、Euler-Maruyamaスキームの明示的構造を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルリプシッツ性を示すドリフト関数を有するSDEに対して、適応的時間刻み幅を用いた明示的Euler-Maruyamaスキームを安定化できるか？
• RQ2 適応的時間刻み幅戦略が、標準的な強収束次数（一般のSDEでは $ \frac{1}{2} $、ユニット分散のランジュヴィンSDEでは $1$）を維持するか？
• RQ3 適応的戦略下で、有限時間区間における期待ステップ数が有限であるか？
• RQ4 ドリフト関数に片側線形成長条件が成り立つ場合でも、ドリフト関数がグローバルリプシッツでない場合でも、この手法が安定性を維持できるか？
• RQ5 既存の安定化手法（例：tamed Euler-Maruyama法）と比較して、性能および収束特性はどのように異なるか？

主な発見

• 非一様グローバルリプシッツ性を示す拡散係数と、片側線形成長条件を満たす局所リプシッツ性を示すドリフト関数を有するSDEに対して、適応的Euler-Maruyama法は強収束次数 $ \frac{1}{2} $ を達成する。
• ユニット分散かつ滑らかなドリフト関数を有するランジュヴィンSDEに対しては、強収束次数 $1$ を達成し、古典的な収束速度と一致する。
• 適切な時間刻み幅の上限を課した場合、有限時間区間 $[0, T]$ における期待ステップ数は有限である。
• 均一時間刻み幅スキームが失敗する状況においても、動的時間刻み幅の調整により数値的安定性が確保される。
• 数値実験により、特定のテストケースにおいてtamed Euler法と比較して、競争力ある、あるいは優れた性能を示す。
• Euler-Maruyamaスキームの明示的構造を維持し、陰的または安定化スキームの計算コストを回避する。