[論文レビュー] Adaptive Finite Time Stability of Delayed Systems With Applications to Network Synchronization

Xiwei Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2020

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 28被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、遅れ付きシステムにおいて、無限大または非同期な時間遅れが存在する場合でさえも、2つの簡単な制御項のみを用いて有限時間安定性（FnTSta）を達成するための新規な二段階法（2PM）を提案する。この手法は、まず誤差ノルムを初期値から1に、次に1から0に駆り込むことで、有限時間安定性を確立する。これにより、未知または時間変動するパラメータを有するシステムにおける適応的有限時間安定性（AFnTSta）が実現され、無限大な遅れを有する複雑ネットワークにおける有限時間外部同期が可能になる。

ABSTRACT

The finite time stability (FnTSta) theory of delayed systems has not been set up until now. In this paper, we propose a two-phases-method (2PM), to achieve this object. In the first phase, we prove that the time for norm of system error evolving from initial values to 1 is finite; then in the second phase, we prove that the time for norm of the error evolving from 1 to 0 is also finite, thus FnTSta is obtained. Considering the cost and complexity of controller, we use only two simple terms to realize this aim. For the proposed 2PM, time delays can be the same or asynchronous, bounded or unbounded, etc; the norm can be $2$-norm, $1$-norm, $\infty$-norm, which show that 2PM is powerful and has a wide scope of applications. Furthermore, we also prove the adaptive finite time stability (AFnTSta) theory of delayed systems using 2PM. As an application of the obtained FnTSta theory, we consider the finite time outer synchronization (FnTOSyn) for complex networks with asynchronous unbounded time delays, corresponding criteria are also obtained. Finally, two numerical examples are given to demonstrate the validity of our theories.

研究の動機と目的

• 遅れ付きシステムにおける有限時間安定性（FnTSta）理論を確立すること。これは、従来、未解決の問題であった。
• 時間遅れ項に依存しないシンプルなコントローラーを設計し、FnTStaを達成すること。
• 未知または時間変動するパラメータを有するシステムへの理論の拡張を図り、適応的有限時間安定性（AFnTSta）を確立すること。
• 複雑ネットワークにおける非同期的かつ無限大な時間遅れを有するシステムに、有限時間外部同期（FnTOSyn）を達成する応用を実施すること。
• 厳密なリャプノフベースの証明と数値例を通じて、理論的枠組みを検証すること。

提案手法

• 有限時間収束プロセスを二つの明確に分離された段階に分解する二段階法（2PM）を提案する。最初の段階では誤差ノルムを初期値から1に、第二段階では1から0に減少させる。
• 段階Iでは、時間変動するリャプノフ関数 $ V_7(t) = \nu(t)\big\|p(t)\big\big\rfloor_{\text{max}} $ を用い、ノルム1への有限時間収束を保証する。
• 段階IIでは、$ \nu_2 > 0 $ である第二のリャプノフ関数 $ V_8(t) = \big\big\rfloor_{\text{max}} + \nu_2 t $ を用い、ゼロへの有限時間収束を保証する。
• パラメータの未知性や時間変動性に対応するため、更新則 $ \frac{1}{2d_1}(c_3(t) - c_3^*)^2 $ を用いた適応則を導入し、状態収束と並行してパラメータ収束を保証する。
• 2PMフレームワークを無限大な時間遅れを有する複雑ネットワークに適用し、$ \big\big\rfloor_{1} $-ノルムおよび $ \big\big\rfloor_{\text{max}} $-ノルムのリャプノフ関数を用いて、有限時間外部同期を証明する。
• 微分不等式および上限に基づくリャプノフ関数を用い、時間変動および無限大な遅れに対処し、さまざまな遅れタイプにわたるロバストネスを確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コントローラーに時間遅れ項を用いずに、遅れ付きシステムで有限時間安定性を達成できるか？
• RQ2 シンプルな二項コントローラーが、無限大または非同期な時間遅れを有するシステムに対し、有限時間収束を保証できるか？
• RQ3 未知または時間変動するパラメータおよび時間遅れを有するシステムに対して、適応的有限時間安定性をどのように確立できるか？
• RQ4 提案手法が、無限大かつ非同期な遅れを有する複雑ネットワークにおいて、有限時間外部同期を保証できるか？
• RQ5 一般な遅れ条件下で、有限時間収束を保証するための異なるノルム（1-ノルム、∞-ノルム）の役割は何か？

主な発見

• 二段階法（2PM）は、無限大、非同期、または有界な時間遅れを有する遅れ付きシステムに対し、有限時間安定性（FnTSta）を成功裏に確立した。
• 定常時間は有限であり、初期条件に依存する。システムは初期ノルムから1への段階、次に1から0への段階の二つの有限時間段階を経て平衡状態に到達する。
• 未知または時間変動するパラメータを有するシステムに対しても、2つの制御項と適応則のみを用いて、適応的有限時間安定性（AFnTSta）を達成した。
• 非同期的かつ無限大な時間遅れを有する複雑ネットワークに対し、2PMフレームワークを用いて有限時間外部同期（FnTOSyn）が証明された。
• 数値例は理論的結果を確認し、提案された制御則の下で、誤差が有限時間内にゼロに急速に収束することを示した。
• 本手法は1-ノルム、∞-ノルム、2-ノルムの異なるノルムにわたってロバストであり、さまざまなシステムタイプおよび遅れ構造への広範な適用可能性を示した。