[論文レビュー] Adaptive First-Order System Least-Squares Finite Element Methods for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Weifeng Qiu, Shun Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非発散型の2階楕円型PDEに対して、標準的なガレルキン法が部分積分の適合性に欠けるために失敗する状況において、適応的かつ1階系最小二乗有限要素法（LSFEM）を提案する。勾配を新たな変数として導入し、$C^0$有限要素と$L^2$および重み付きLSFEMの定式化を用いることで、やや弱い仮定の下で最適収束率を達成し、特異解や退化係数の問題において、特に適応的メッシュ・アンメッシュの効果が顕著である。

ABSTRACT

This paper studies adaptive first-order least-squares finite element methods for second-order elliptic partial differential equations in non-divergence form. Unlike the classical finite element method which uses weak formulations of PDEs not applicable for the non-divergence equation, the first-order least-squares formulations naturally have stable weak forms without using integration by parts, allow simple finite element approximation spaces, and have build-in a posteriori error estimators for adaptive mesh refinements. The non-divergence equation is first written as a system of first-order equations by introducing the gradient as a new variable. Then two versions of least-squares finite element methods using simple $C^0$ finite elements are developed in the paper, one is the $L^2$-LSFEM which uses linear elements, the other is the weighted-LSFEM with a mesh-dependent weight to ensure the optimal convergence. Under a very mild assumption that the PDE has a unique solution, optimal a priori and a posteriori error estimates are proved. With an extra assumption on the operator regularity which is weaker than traditionally assumed, convergences in standard norms for the weighted-LSFEM are also discussed. $L^2$-error estimates are derived for both formulations. We perform extensive numerical experiments for smooth, non-smooth, and even degenerate coefficients on smooth and singular solutions to test the accuracy and efficiency of the proposed methods.

研究の動機と目的

• 非微分可能係数を有するため変分形式が存在しない非発散型2階楕円型PDEを解く課題に対処すること。
• 部分積分に依存する古典的有限要素法が非発散型作用素に対して失敗するという制限を克服すること。
• 最小二乗有限要素法として安定かつ整合的であり、最小限の正則性仮定の下で1階系を用いる定式化を開発すること。
• 弱い一意解可能性仮定と重み付きLSFEMにおける正則性の向上の下で、最適な事前および事後誤差推定を確立すること。
• 滑らかでない、非滑らかでない、または退化係数を有する問題に対して、$L^2$-LSFEMおよび重み付きLSFEMを用いた適応的メッシュ・アンメッシュの有効性を実証すること。

提案手法

• 勾配を補助変数として導入することで、2階非発散型PDEを1階系に再定式化する。
• 2種類の最小二乗有限要素定式化を構築する：線形$C^0$要素を用いた$L^2$-LSFEMと、メッシュ依存の重みを用いた重み付きLSFEM。
• 解および勾配変数の両方に対して$C^0$有限要素空間を用いることで、単純かつ適合する離散化を可能にする。
• 1階系の重み付き残差の和として最小二乗汎関数を定義し、部分積分を回避する。
• 要素残差に基づく事後誤差推定器を導出し、適応的メッシュ・アンメッシュを実現する。
• 事後誤差指標に基づく適応的メッシュ・アンメッシュを適用し、自由度を最小限に抑えつつ精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な弱形式が不適切な非発散型2階楕円型PDEに対して、1階系最小二乗有限要素法が効果的に適応可能であるか。
• RQ2 係数行列の一意解可能性と有界性のみを仮定するような最小限の仮定の下で、$L^2$-LSFEMおよび重み付きLSFEMの収束挙動はいかなるものか。
• RQ3 解が完全な$H^2$正則性を持たない場合、非滑らかまたは退化係数を有する問題に対して、提案手法はどのように性能を示すか。
• RQ4 特異性や低正則性が存在する状況において、適応的メッシュ・アンメッシュが自由度を著しく削減しながらも最適収束率を維持できるか。
• RQ5 $L^2$-LSFEMと重み付きLSFEMの間で、解および係数の正則性のさまざまな状況において、収束順序および効率性の相対的性能はいかなるものか。

主な発見

• 一意解可能性および係数行列の有界性というやや弱い仮定の下で、最適な事前および事後誤差推定が証明された。
• 重み付きLSFEMは、退化係数でさえも、エネルギーノルムおよび解の$L^2$ノルムにおいて最適な収束次数$k$を達成する。
• $S_{1,0} \times S_{1}^2$要素を用いた$L^2$-LSFEMでは、正則性が低く、退化しているため、$L^2$誤差は収束速度1を示し、エネルギーノルムは1未満の収束速度を示す。
• L字型領域において$A_5$（ Hölder連続）の場合、$S_{3,0} \times S_{2}^2$重み付きLSFEMでは、わずか50自由度で$||\nabla(u - u_h)||_0 \leq 0.01$を達成したのに対し、$L^2$-LSFEMでは7,618ノードが必要であった。
• 特異点および座標軸付近にメッシュの集中が見られ、$u = x^{4/3} - y^{4/3}$問題において誤差の局在化が明確に確認された。
• L字型問題において$A_5$、$A_6$、$A_7$を用いた場合、すべての適応的手法が最適収束次数を達成しており、係数の正則性クラスにかかわらず堅牢であることが示された。