[論文レビュー] Adaptive Multigrid Algorithm for the QCD Dirac-Wilson Operator

James Brannick, R. C. Brower+3 more|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、QCDディラック・ウィルソン作用素に対する適応的マルチグリッド法を提示する。この手法は、動的粗格子補間を通じて近いゼロ固有空間を保存し、カイラル極限における臨界遅れの著しい低減を実現する。2次元シュヴィンガー模型においてβ=6のとき、標準的CG法と比較して26回の反復でほぼ最適に収束を達成した。これは3,808回の反復を要する標準的CG法と比較して顕著な高速化を示し、臨界遅れは弱く、ゲージ結合定数にほとんど依存しない。

ABSTRACT

We present a new multigrid solver that is suitable for the Dirac operator in the presence of disordered gauge fields. The key behind the success of the algorithm is an adaptive projection onto the coarse grids that preserves the near null space. The resulting algorithm has weak dependence on the gauge coupling and exhibits mild critical slowing down in the chiral limit. Results are presented for the Wilson Dirac operator of the 2d U(1) Schwinger model.

研究の動機と目的

• 不規則なゲージ場を伴う格子QCDシミュレーションにおいて、ディラック・ウィルソン作用素を解く際の臨界遅れを軽減すること。
• カイラル極限や長い相関長を持つ系においても有効であるマルチグリッドソルバーの開発。
• 前処理の重み付けに基づく粗格子を用いる従来のマルチグリッド手法が、近いゼロ固有モードを保存しないことによる失敗を克服すること。
• 適応的粗格子への射影が近いゼロ固有空間を維持でき、収束の安定性を保証できることを示すこと。
• 4次元QCDへの応用および、正規方程式ではなくディラック作用素そのものの直接解法への拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• ディラック作用素の近いゼロ固有空間を粗格子に適応的補間することで、臨界的な低モード構造を保存する。
• ガラーキン法による粗格子作用素（制限行列と拡大行列を用いて定義）を用いたVサイクルマルチグリッドフレームワークを採用する。
• 共役勾配法（CG）内にマルチグリッド前処理器（MG-CG）を組み込み、1反復あたり6回のD†D作用素の適用を実施する。
• 拡大行列Pを、自身の手法を繰り返し適用することで構築し、局所的なゲージ場構造に適応させる。
• 標準的なマルチグリッド収束理論を適用可能とするために、エルミート正定値構造を保証するため、正規方程式A = D†Dを用いる。
• 標準的な緩和法（例： Gauss-Seidel）と線形補間／拡大を採用し、制限は拡大の随伴として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則なゲージ場を伴う格子QCDシミュレーションにおいて、適応的マルチグリッド法が臨界遅れを著しく低減できるか。
• RQ2 適応的粗格子補間によるディラック作用素の近いゼロ固有空間の保存が、あらゆる物理的領域で安定した収束をもたらすか。
• RQ3 標準的CG法と比較して、適応的マルチグリッドソルバーの総合的なディラック作用素適用回数はどの程度改善されるか。
• RQ4 この手法の性能がソースの種別やゲージ場の相関長にどれほど依存するか。
• RQ5 適応的マルチグリッド手法を、正規方程式ではなく非エルミート的ディラック作用素そのものに直接拡張できるか。

主な発見

• 適応的マルチグリッド法により、β=6、m̂=0.01の条件下で、標準的CG法の3,808回から26回にまでディラック作用素の適用回数が削減され、顕著な高速化が達成された。
• ピオン相関長がゲージ場相関長を上回る領域においても、臨界遅れは弱く、従来の手法が失敗した領域でも安定して動作した。
• MG-CGの性能はソースの種別にほとんど依存せず、点源、ガウス源、Z4ノイズ源のすべてにおいて一貫した収束を示した。
• 複数の右辺を解く際には、拡大行列の構築コストが大幅に均等化され、大規模シミュレーションにおいて費用対効果に優れた手法となった。
• 4次元QCDへの応用およびディラック作用素そのものの直接解法への拡張に強く有望な兆しを示しており、初期の結果は前向きである。
• この手法の成功の背景には、遅いモードが低次元の部分空間を占め、少数のベクトルで粗いブロック上で正確に近似可能であるという事実がある。