[論文レビュー] Adaptive Multilevel Monte Carlo Approximation of Distribution Functions

Michael B. Giles, Tigran Nagapetyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、目的の分布関数が明示的に与えられていない場合に、1変量確率変数の分布関数を近似するための適応的マルチレベルモンテカルロ手法を提案する。平滑化された指示関数と、補間点および平滑化パラメータの適応的選択を組み合わせることで、収束速度が保証され、単一レベル手法と比較して、経路に依存しない、経路に依存する、および抜ける時刻関数に対するすべての設定で、計算コストを顕著に削減する。

ABSTRACT

We analyse a multilevel Monte Carlo method for the approximation of distribution functions of univariate random variables. Since, by assumption, the target distribution is not known explicitly, approximations have to be used. We provide an asymptotic analysis of the error and the cost of the algorithm. Furthermore we construct an adaptive version of the algorithm that does not require any a priori knowledge on weak or strong convergence rates. We apply the adaptive algorithm to smooth path-independent and path-dependent functionals and to stopped exit times of SDEs.

研究の動機と目的

• 目的の分布が明示的に与えられていない状況における分布関数近似のための適応的マルチレベルモンテカルロアルゴリズムの開発。
• MLMC設定における弱収束および強収束の速度に関する事前知識の必要性を排除すること。
• 所定の精度に対して計算コストを最小化するために、補間点の数と平滑化パラメータを適応的に選択すること。
• 主要なアルゴリズム的パラメータの適応的選択を含めた、漸近的誤差およびコスト解析の拡張。

提案手法

• モーメントの観点で、ヘヴィサイド関数を高々 $ r-1 $ 階まで一致させる、 compactly supported で滑らかな遷移関数 $ g $ を用いて指示関数を平滑化する。
• 平滑化幅を制御する $ \delta $ を用いて、$ \mathbb{E}[g((Y - s_i)/\delta)] $ を介して分布関数を近似する。
• ネストされた離散化レベルを用いて、平滑化された関数の期待値をマルチレベルモンテカルロで推定する。
• 区間 $[S_0, S_1]$ 上で、$ k $ 個のノット $ s_i $ を用いたスプライン補間により、CDFを再構築する。
• 経験的誤差推定と分散の減少行動に基づいて、$ k $ と $ \delta $ を適応的に調整してコストを最小化する。
• 漸近的コストバウンドと、補間誤差、平滑化誤差、離散化バイアス、サンプリング誤差の成分に分解された誤差を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチレベルモンテカルロ法は、収束速度に関する事前知識がなければ、どのように分布関数を近似できるか？
• RQ2 計算コストを最小化するために、平滑化パラメータ $ \delta $、補間点数 $ k $、およびサンプルサイズ $ N_\ell $ の最適なバランスは何か？
• RQ3 平滑化は、分布関数近似のためのMLMC推定量の分散減少と収束順序にどのように影響するか？
• RQ4 適応的選択による $ \delta $ と $ k $ の選択は、固定パラメータ法と比較して顕著な計算的利得をもたらすか？
• RQ5 所定の精度 $ \epsilon $ に対して、適応的アルゴリズムの漸近的コストスケーリングはどのようになるか？

主な発見

• 滑らかな経路に依存しない関数に対して、精度 $ \epsilon = 2^{-9} $ において、単一レベルモンテカルロと比較して、計算的利得が最大840倍に達する。
• 経路に依存しない関数に対して、$ \delta > 0 $ の平滑化により、実験的分散減少率が0.5から0.85に向上し、分散とコストが顕著に削減される。
• 経路に依存する関数に対して、分散減少率が0.5から0.85に向上し、$ \epsilon = 2^{-9} $ で70倍の計算的利得が得られる。
• 抜ける時刻関数に対しては、$ \delta $ の値に関わらず分散減少率は約1.0に保たれるが、平滑化により定数が減少し、効率が向上する。
• 適応的アルゴリズムは、ルート平均二乗誤差 $ \hat{e}_{\text{ML}}(\epsilon) < \epsilon $ を維持しており、精度の目標が達成されていることを確認する。
• 補間点の数と $ 1/\delta $ は、$ \epsilon $ の減少に比例して増加するが、これは理論的漸近的スケーリングと整合的である。