[論文レビュー] Adaptive orthonormal systems for matrix-valued functions

Daniel Alpay, Fabrizio Colombo+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単位円板内の点の選択と直交射影を組み合わせた一般化された最大選択原理を用いて、行列値関数のための適応的フォーリエ分解（AFD）を、$\mathbf{H}_2^{p\times q}$ における行列値関数へと拡張する。この方法により、正規直交行列値ブラシケ積の系が構築され、収束が速く、非負の解析的瞬時周波数の性質を保ちながら、行列信号の効率的な有理近似と補間が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we consider functions in the Hardy space $\mathbf{H}_2^{p imes q}$ defined in the unit disc of matrix-valued. We show that it is possible, as in the scalar case, to decompose those functions as linear combinations of suitably modified matrix-valued Blaschke product, in an adaptive way. The procedure is based on a generalization to the matrix-valued case of the maximum selection principle which involves not only selections of suitable points in the unit disc but also suitable orthogonal projections. We show that the maximum selection principle gives rise to a convergent algorithm. Finally, we discuss the case of real-valued signals.

研究の動機と目的

• スカラー関数から $\mathbf{H}_2^{p\times q}$ における行列値関数への適応的フォーリエ分解（AFD）の一般化を目的とする。
• 点選択と直交射影を組み合わせた行列値関数への最大選択原理の拡張に基づく適応的アルゴリズムの開発。
• 分解が目標関数に収束することを保証するとともに、非負の解析的瞬時周波数の性質を維持すること。
• フーリエ係数における対称性と共役対称性を活用して、実行列信号への理論の拡張。
• ブラシケ積から導かれる正規直交系を用いた、行列値関数の有理近似と補間のためのフレームワークの提供。

提案手法

• 一般化された最大選択原理に従い、$a_k \in \u005cmathbb{D}$ に対して $|\langle f_k, e_{a_k} \rangle|^2 = (1 - |a_k|^2) \|f_k(a_k)\|^2$ を最大化するように、行列値ブラシケ因子 $B_k(z)$ を適応的に選択する。
• 一般化された後退シフト作用素を用いて $k$-番目の残差関数 $f_k(z)$ を定義する：$f_k(z) = \frac{f_{k-1}(z) - \langle f_{k-1}, e_{a_{k-1}} \rangle e_{a_{k-1}}(z)}{\frac{z - a_{k-1}}{1 - z\overline{a_{k-1}}}}$。
• 単位円上でユニモジュラーであり、$\mathbf{H}_2^{p\times q}$ 内で直交する行列値ブラシケ積の正規直交系 $B_k(z)$ を構築する。
• ブルリング-ラクスの定理を用いて、後退シフト不変部分空間を $\mathcal{B} \mathbf{H}_2^{p\times q}$ として特徴づける。ここで $\mathcal{B}$ は行列値ブラシケ積である。
• リーチの因子分解定理を適用し、関数 $F$ がブラシケ積 $\mathcal{B}$ の像に直交するならば、$\mathcal{B} = \Theta \Theta_1$ と書け、$\Theta_1$ は収縮的であり、$\ell = p$ であることを示す。
• 実行列信号の場合、$F_{-n} = \overline{F_n}$ という共役対称性を活用し、$F(e^{it}) = F_+(e^{it}) + \overline{F_+(e^{it})} - F_0$ と表す。これにより、解析的部 $F_+$ に対して AFD アルゴリズムを適用可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的フォーリエ分解（AFD）は、直交射影を含む最大選択原理を用いて、$\mathbf{H}_2^{p\times q}$ における行列値関数へ一般化可能か？
• RQ2 得られる行列値ブラシケ積の正規直交系は、目標関数に収束するか？その収束が速い条件は何か？
• RQ3 行列値の場合に非負の解析的瞬時周波数の性質をどのように保てるか？信号分解にどのような意味を持つのか？
• RQ4 行列値ハーディー空間における後退シフト不変部分空間の構造は何か？また、行列値ブラシケ積の像とどのように関係するか？
• RQ5 フーリエ係数における共役対称性を活用することで、実値行列信号への AFD アルゴリズムはどのように適合可能か？

主な発見

• 一般化された最大選択原理により、アルゴリズムは $\mathbf{H}_2^{p\times q}$ 内の目標関数 $f$ に収束し、$n \to \infty$ のとき $\|f_{n+1}\| \to 0$ となることが保証される。
• 分解 $f(z) = \sum_{k=1}^\infty \langle f_k, e_{a_k} \rangle B_k(z)$ が成立する。ここで各 $B_k$ は行列値ブラシケ積であり、$\mathbf{H}_2^{p\times q}$ 内で正規直交系をなす。
• 本手法は各成分 $B_k$ に対して非負の解析的瞬時周波数の性質を保ち、行列値の意味で各項が単一成分であることを保証する。
• アルゴリズムによって生成される後退シフト不変部分空間は、選択された点 $a_k$ と射影から構築された行列値ブラシケ積 $\mathcal{B}$ を用いて $\mathcal{B} \mathbf{H}_2^{p\times q}$ の形で表される。
• 実行列信号の場合、解析的部 $F_+$ は $\mathbf{H}_2^{p\times q}$ に属し、全信号は $F(e^{it}) = F_+(e^{it}) + \overline{F_+(e^{it})} - F_0$ により再構成可能であり、これにより $F_+$ に対して AFD アルゴリズムを適用可能になる。
• リークの因子分解定理の適用により、$F$ が $\mathcal{B} \mathbf{H}_2^{p\times q}$ に直交するならば、$\mathcal{B} = \Theta \Theta_1$ と書け、$\Theta_1$ は正則かつ収縮的であり、$\ell = p$ である。