[論文レビュー] Adaptive semiparametric wavelet estimator and goodness-of-fit test for long memory linear processes

Jean‐Marc Bardet, Hatem Bibi|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Fault Detection and Control Systems参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ガウス過程に限らない一般の線形過程における長期記憶パラメータ $ d $ のための適応的半パラメトリックウェーブレット推定量を提案する。従来の研究をガウス仮定を超えて拡張し、ウェーブレット分散推定量を修正し、適応的擬似一般最小二乗法を用いることで、漸近的効率性が向上し、一様で頑健な性能を示す単純なカイ二乗適合度検定が可能になる。

ABSTRACT

This paper is first devoted to study an adaptive wavelet based estimator of the long memory parameter for linear processes in a general semi-parametric frame. This is an extension of Bardet {\\it et al.} (2008) which only concerned Gaussian processes. Moreover, the definition of the long memory parameter estimator is modified and asymptotic results are improved even in the Gaussian case. Finally an adaptive goodness-of-fit test is also built and easy to be employed: it is a chi-square type test. Simulations confirm the interesting properties of consistency and robustness of the adaptive estimator and test.

研究の動機と目的

• ガウス過程に限らない一般の線形過程に対して、半パラメトリック枠組みの中で長期記憶パラメータ $ d $ の適応的ウェーブレット推定量を拡張すること。
• 分散の定義を修正することでウェーブレット推定量の漸近的性質を改善し、2次モーメントスペクトルの性質を事前に知らなくても最適スケールの適応的選択が可能になること。
• 擬似一般最小二乗推定量（PGLSE）に基づく長期記憶のための適応的適合度検定を構築し、カイ二乗分布に漸近的に従うことを示すこと。
• 非ガウス分布および有限標本下での条件において、提案手法の推定量および検定の一貫性と頑健性をシミュレーションにより示すこと。
• 対数ウェーブレット分散の多次元中心極限定理を確立し、その漸近的分散共分散行列が $ d $ とウェーブレットのフーリエ変換にのみ依存する簡単な形になること。

提案手法

• 離散的マルチスケール構造を必要としない連続ウェーブレット変換を用いて $ d $ のウェーブレットベース推定量を適応的に拡張し、より広いウェーブレットの選択を可能にする。
• 標本分散推定量を修正することで漸近的効率性を向上させ、対数分散の多次元中心極限定理を導出する。
• 対数分散に擬似一般最小二乗推定量（PGLSE）を適用し、漸近的分散共分散行列を $ d $ とウェーブレットのフーリエ変換にのみ依存させる。
• やや弱い条件下でPGLSEの漸近正規性を確立し、通常の最小二乗推定量よりも漸近的分散が小さいことを示す。
• PGLS残差の二乗和を正規化した適合度検定を構築し、帰無仮説（長期記憶）のもとでカイ二乗分布に収束することを証明する。
• 対数分散プロットの「最も直線的である部分」を検出することで適応的スケール選択手順を採用し、手動によるバンド幅やスケールのチューニングを不要にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的ウェーブレット推定量は、ガウス過程から一般の線形過程への半パラメトリック枠組みへの拡張が可能か？
• RQ2 ウェーブレット分散推定量の修正により、漸近的効率性が向上し、漸近的分散共分散構造が単純化されるか？
• RQ3 PGLSEに基づく適応的適合度検定を構築でき、望ましい漸近的性質を維持するか？
• RQ4 非ガウス分布および有限標本下での条件において、提案手法の推定量および検定の性能は、既存手法と比較して一貫性と頑健性に優れるか？
• RQ5 対数分散の直線的領域に基づく適応的スケール選択手順は、実際の応用において一貫性があり効果的か？

主な発見

• 提案された適応的ウェーブレット推定量は、非適応的通常最小二乗推定量よりも漸近的分散が小さい中央極限定理を満たし、効率性が向上する。
• 対数分散ベクトルの漸近的分散共分散行列は、$ d $ とウェーブレットのフーリエ変換にのみ依存するため、推論が簡素化され、効率的なPGLSEの構築が可能になる。
• PGLS残差に基づく適応的適合度検定は、帰無仮説のもとでカイ二乗分布に収束するため、実装が容易になる。
• シミュレーションにより、帰無仮説下でも推定量および検定の一致性が確認され、ガウス性からの逸脱に対しても頑健性が示された。
• 2次モーメントスペクトルパラメータが未知であっても、適応的スケール選択手順のおかげで推定量は良好な性能を維持する。
• 理論的境界をホルダーおよびマルコフの不等式を用いて導出し、有限な4次のモーメントを持つ対称的かつ軽尾のノイズに対しても本手法が頑健であることが示された。