[論文レビュー] Adaptive time-stepping for Stochastic Partial Differential Equations with non-Lipschitz drift

Stuart Campbell, Gabriel J. Lord|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非リプシッツ型ドリフトおよび乗法的トレースクラスノイズを有する半線形確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、指数型積分子を用いた空間的半群と、ドリフト応答の増大に応じてステップサイズを小さくする適応的時間刻み幅スキームを提案する。この手法により、グローバルにリプシッツ型ドリフトの場合と同一の強収束率が保証され、離散的グローヴァルム補題と条件付き伊藤等価性を用いて証明される。

ABSTRACT

We introduce an explicit, adaptive time-stepping scheme for the simulation of SPDEs with one-sided Lipschitz drift coefficients. Strong convergence rates are proven for the full space-time discretisation with multiplicative trace-class noise by considering the space and time discretisation separately. Adapting the time-step size to ensure strong convergence is shown numerically to produce more accurate solutions when compared to alternative fixed time-stepping strategies for the same computational effort.

研究の動機と目的

• 非グローバルにリプシッツ型でないドリフトを有するSPDEに対して、強い収束性を示す明示的時間刻み幅スキームの開発。これは数値的SPDE分野における主要な挑戦である。
• 標準的なイタロ＝マルヤム法が非リプシッツ型ドリフト下で失敗するのを回避するため、撫でる処理や陰的スキームを用いる代わりに、適応的時間刻み幅制御を導入する。
• 片側リプシッツ型ドリフトおよび乗法的トレースクラスノイズの下で、完全な空間時間離散化における強い収束レートを確立する。
• 同じ計算コストにおいて、適応的刻み幅法が固定刻み幅法よりも高い精度を達成することを数値的に示す。
• 従来SDEにのみ適用可能であった手法をSPDEに拡張し、適応スキームの理論的基盤を提供する。

提案手法

• 数値的ドリフト応答の増大を制御するため、適応的時間刻み幅戦略を定義し、解の大きさに比例する最大線形依存を保証する。
• 有限要素法またはスペクトルガラーキン空間半群近似と、時間離散化に指数型積分子を組み合わせる。
• 時間ステップは、現在の解のドリフト応答に基づいて動的に調整され、発散を防ぐために最小ステップサイズを設ける。
• 主要な要素として、弱い解の条件付き伊藤等価性と時間的滑らかさを用いて、誤差伝播を制御する。
• 収束解析では空間離散化と時間離散化を分離し、グローバル誤差のL²ノルムにおけるバウンディングに離散的グローヴァルム補題を適用する。
• 非リプシッツ型ドリフトを有するSPDEに対して、同じ計算努力の下で適応的および固定刻み幅戦略を比較する数値的検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なイタロ＝マルヤム法が失敗する非リプシッツ型ドリフトを有するSPDEに対して、明示的かつ適応的時間刻み幅スキームが強い収束性を達成できるか？
• RQ2 乗法的トレースクラスノイズおよび片側リプシッツ型ドリフトの下で、適応的スキームの収束レートはいかなるものか？
• RQ3 同じ計算コストにおいて、適応的スキームは固定刻み幅法と比較して、精度と効率の点で優れているか？
• RQ4 適応的設定において安定性と収束性を保証するための時間刻み幅の必要条件は何か？
• RQ5 非リプシッツ型ドリフト下でも、適応的時間刻み幅によって、グローバルにリプシッツ型問題における理論的収束レートを保持できるか？

主な発見

• 適応的時間刻み幅スキームは、グローバルにリプシッツ型ドリフトの場合と同一の収束率を達成する。具体的には、最大時間刻み幅Δt_maxに対して1−εの収束レートを示す。
• 誤差バウンディングは、𝔼[‖E_k(T)‖² | 𝒢_n] ≤ Λ Δt_max^{1−ε} exp(C₂T) の形をとり、適応的ステップコントロール下での収束を証明する。
• 数値実験により理論的収束レートが確認され、同じ計算努力の下で適応的スキームが固定刻み幅法よりもより高精度な解を生成することが示された。
• 時間刻み幅が最小閾値Δt_minを超えていれば、スキームは安定かつ収束を保つ。Δt_minに達した場合にはバックストップスキームが必要となる。
• 誤差定数ΛおよびC₂はドリフト応答閾値ρに依存し、Lemma 4.5のルールi)を用いる場合、全体の定数C(T,ρ,X₀)はρ^{2θ}に比例する。
• 弱い解に関する条件付き正則性と伊藤等価性が確立され、これは確率積分項の誤差バウンディングに不可欠である。