[論文レビュー] Addendum to "K3-surfaces of genus 8 and varieties of sums of powers of cubic fourfolds"

Atanas Iliev, Kristian Ranestad|ArXiv.org|Nov 17, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、8型のK3表面に関する以前の結果を是正・拡張し、6変数の一般の三次形式を10個の立方の和として表す多様体VSP(F,10)が、滑らかでシンプレクティックな4次元多様体であることを証明する。この多様体は8型のK3表面のヒルベルト平方と変形同値であるが、既知の族（特に三次4次超曲面の直線の多様体を含む）とは異なることから、2つの線形独立な極化をもつ、新しいコン pact 複素シンプレクティック4次元多様体を構成する。

ABSTRACT

In this note, which is an addendum to the e-print math.AG/9810121, we prove that the variety VSP(F,10) of presentations of a general cubic form F in 6 variables as a sum of 10 cubes is a smooth symplectic 4-fold, which is deformation equivalent to the Hilbert square of a K3 surface of genus 8 but different from the family of lines on a cubic 4-fold. This provides a new geometric construction of a compact complex symplectic fourfold, different from a Hilbert square of a K3 surface, a generalized Kummer 4-fold, the variety of lines on a cubic 4-fold and the recent examples of O'Grady (see Duke Math. J. 134, no. 1 (2006), 99-137).

研究の動機と目的

• 極化されたハイパーカラーゼル多様体のモジュライに関する、以前の論文の定理3.17における不完全な証明を是正すること。
• 6変数の一般の三次形式を10個の立方の和として表す多様体VSP(F,10)が、滑らかでシンプレクティックな4次元多様体であることを確立すること。
• VSP(F,10)が8型のK3表面のヒルベルト平方と変形同値であるが、三次4次超曲面の直線の多様体とは同型でないことを示すこと。
• 8型のK3表面のヒルベルト平方に、VSP(F,10)から来る極化$L_{vsp}$と、パフィアン三次4次超曲面の直線から来る極化$L_{lines}$の2つが、線形独立であることを証明すること。
• VSP(F,10)と三次4次超曲面の直線の多様体のモジュライ空間が、極化されたハイパーカラーゼル多様体のモジュライ空間において、2つの異なる成分をなしており、それらが8型のK3表面のヒルベルト平方をパラメトライズする除数に沿って横断的に交わることを示すこと。

提案手法

• 一般の8型のK3表面$S$のヒルベルト平方$Hilb_2 S$を分析し、それが三次4次超曲面$F$の10個の累乗の和の多様体$VSP(F,10)$と同一視されることを特定する。
• プラッカー埋め込みを用いて、$Hilb_2 S$に2つの異なる極化$L_{lines}$（パフィアン三次4次超曲面$F'$の直線の多様体から）と$L_{vsp}$（$VSP(F,10)$へのVSP写像から）を定義する。
• 点$p \in S$に支持を持つ長さ2の部分スキームの線型系$C_p$を構成し、極化との交点数を計算する。
• ${\bf P}^n$-バンドル上の極性スクロールに関する補題を適用し、$C_p$のVSP写像による像の次数を計算することで、$C_p \cdot L_{vsp} = 3$を示す。
• 双対空間における双対スクロールの次数を計算し、接超平面切断と$\mathbf{P}(igwedge^4 V)$内の有理スクロールの幾何を用いて、$C_p \cdot L_{lines} = 5$を求める。
• 次数3と5が互いに素であることから、$Hilb_2 S$上で$L_{vsp}$と$L_{lines}$が線形独立であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の8型のK3表面$S$に対して、$Hilb_2 S$上の2つの極化$L_{vsp}$と$L_{lines}$は線形独立か？
• RQ2 6変数の一般の三次形式を10個の立方の和として表す多様体$VSP(F,10)$は、滑らかでシンプレクティックな4次元多様体か？
• RQ3 $VSP(F,10)$は、ヒルベルト平方、一般化されたクマー多様体、または三次4次超曲面の直線の多様体とは変形同値でない、新しいコン pact 複素シンプレクティック4次元多様体をもたらすか？
• RQ4 VSP(F,10)と三次4次超曲面の直線の多様体のモジュライ空間は、極化されたハイパーカラーゼル多様体のモジュライ空間内でどのように関係しているか？
• RQ5 2つのモジュライ成分の交わりの幾何的意味は何か？また、それらは基礎となる8型のK3表面に関して何を表すか？

主な発見

• 6変数の一般の三次形式を10個の立方の和として表す多様体$VSP(F,10)$は、滑らかでシンプレクティックな4次元多様体である。
• 多様体$VSP(F,10)$は、8型のK3表面のヒルベルト平方と変形同値である。
• テスト曲線$C_p$の次数3と5が互いに素であることから、$Hilb_2 S$上の2つの極化$L_{vsp}$と$L_{lines}$は線形独立である。
• VSP(F,10)と三次4次超曲面の直線の多様体のモジュライ空間は、極化されたハイパーカラーゼル多様体のモジュライ空間において2つの異なる成分をなす。
• これらの2つの成分は、8型のK3表面のヒルベルト平方をパラメトライズする除数に沿って横断的に交わる。
• 本研究は、ヒルベルト平方、一般化されたクーマー多様体、およびオグレイディの例とは異なる、コン pact 複素シンプレクティック4次元多様体の新しい幾何的実現を提供する。