[論文レビュー] Addendum to: "Lifting smooth curves over invariants for representations of compact Lie groups, III" [J. Lie Theory 16 (2006), No. 3, 579-600.]

Andreas Kriegl, Mark Losik+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリー群表現の不変量の上での滑らかな曲線の上げ上げ定理を、ブラオンシュテインの定理の精密化を活用することで改善する。曲線の $C^k$-滑らかさが保証されれば $C^1$-上げが可能であり、$C^{k+d}$-滑らかさが保証されれば2回微分可能な上げが可能である。両結果とも仮定と結論の両方が最適である。

ABSTRACT

We improve the main results in the paper from the title using a recent refinement of Bronshtein's theorem due to Colombini, Orrú, and Pernazza. They are then in general best possible both in the hypothesis and in the outcome. As a consequence we obtain a result on lifting smooth mappings in several variables.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲線のコンパクトなリー群表現の不変量上での上げ上げに必要な滑らかさ条件を改善すること。
• 曲線の滑らかさに基づいた上げの微分可能性の鋭い閾値を確立すること。
• 曲線からの上げ結果を複数変数の写像へと拡張すること。
• 反例を用いて、改善された仮定と結果が最適であることを証明すること。
• 上げ結果を極小表現および有限反射群へと一般化すること。

提案手法

• コロンビーニ、オルーリ、ペルナッツァによる、モニックな双曲的多項式の微分可能な根選択に関するブラオンシュテインの定理の最近の精密化を利用する。
• 群表現から生じる不変多項式の曲線にその精密化された定理を適用する。
• 軌道構造と安定化部分群を用いて根をパラメータ表示する関数を構成する。
• 改善されたブラオンシュテインの結果を用いて、係数関数の滑らかさを根関数の滑らかさへと移す。
• ボーマンの定理を適用し、滑らかな曲線に沿った上げの局所リプシッツ滑らかさを導出する。
• $C^∞$-曲線に沿った上げの分析とボーマンの基準を用いて、曲線から複数変数の写像への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群表現の軌道空間上に存在する滑らかな曲線が微分可能な上げをもつために必要な最小の滑らかさは何か？
• RQ2 現代的な古典的定理の精密化を用いることで、$C^1$-および2回微分可能な上げの滑らかさ閾値をさらに厳密にできるか？
• RQ3 上げ定理における滑らかさ条件の改善は、仮定および結論の両方で最適であるか？
• RQ4 曲線に対する上げ結果を複数変数の写像へと拡張できるか？
• RQ5 $C^k$-写像 $f: U \to V/G$ が軌道空間に値をとるとき、どのような条件下で局所リプシッツ滑らかさを持つ上げが存在するか？

主な発見

• 有限群表現に対して、軌道空間上に存在する $C^k$-曲線は、$k = \max\{d(\rho), |G|/|G_{v_i}|\}$ のもとで $C^1$-上げをもつ。ここで $d(\rho)$ は基本不変量の最大次数である。
• 軌道空間上に存在する $C^{k+d}$-曲線は、グローバルに2回微分可能な上げをもち、この滑らかさ閾値は最適である。
• 改善された滑らかさ結果は最適である：仮定および結論の両方が、弱くも強くもできない。
• $U \subseteq \mathbb{R}^q$ を開集合として、$C^k$-写像 $f: U \to V/G$ に対して、任意の連続な上げ $\bar{f}$ は、$k$ が上記と同一である限り、局所リプシッツ滑らかである。
• コンパクト連結リー群の極小表現に対して、軌道空間への $C^k$-写像は、グローバルに直交的で局所リプシッツ滑らかな上げをもつ。
• 結果は鋭い：任意の $\alpha > 0$ に対して $C^{1,\alpha}$-上げを持たない $C^\infty$-曲線が存在する。これにより、$C^1$-滑らかさ結果の最適性が確認される。