[論文レビュー] Addendum to: On fibre space structures of a projective irreducible symplectic manifold

Daisuke Matsushita|ArXiv.org|Mar 8, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、射影的非分解シンプレクティック多様体から射影的基底への任意のファイブレーションがラグランジュファイブレーションであることを証明している。すなわち、一般のファイバーはホロモルフィックシンプレクティック形式に関してラグランジュ部分多様体である。コホロロジー上の双線形形式とコホロロジー項の比較を用いて、鍵となる積分の消滅を示し、ラグランジュ条件の確認と同時に、ファイバーがアーベル多様体であることを示している。

ABSTRACT

In this note, we prove that every fibre space structures of a projective irreducible symplectic manifold is a lagrangian fibration.

研究の動機と目的

• 射影的非分解シンプレクティック多様体から射影的基底への任意のファイブレーションがラグランジュファイブレーションであることを確立すること。
• このクラスの多様体において、非ラグランジュ的ファイブレーションが存在しうるかどうかの理解のギャップを解消すること。
• このようなファイブレーションの一般ファイバーが、ラグランジュ条件の結果としてアーベル多様体であることを示すこと。
• 先行文献で指摘された非ラグランジュ的トーラスの族と本物のファイブレーションの違いを明確にすること。

提案手法

• 2n次元の射影的非分解シンプレクティック多様体 X 上のホロモルフィックシンプレクティック形式 ω 及びその共役 ω̄ の使用。
• 文献[3, Theorem 4.7]で定義された H^2(X, ℂ) 上の双線形形式 q_X の適用。この形式は、D ∈ H^2(X, ℂ) に対して q_X(D,D)^n = D^{2n} を満たす。
• パrameter s, t を用いたコホロロジー類 ω + ω̄ + sA + tH の族の構成と、このクラスの 2n 乗を両辺の恒等式で比較すること。
• q_X(ω + ω̄, A) 及び q_X(ω + ω̄, H) を含む交差項の同定とキャンセル処理。これらは [1, Théorème 5] のホッジ理論的直交性から消える。
• 両辺の展開における s^{n-2}t^n の係数を比較し、ω̄ ∧ ω ∧ A^{n-2} ∧ H^n = 0 を導出すること。
• この消滅を用いて、∫_F ω ∧ ω̄ ∧ A^{n-2} = 0 が成り立つことを結論づけ、ファイバー F におけるラグランジュ条件の確認を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的非分解シンプレクティック多様体から射影的基底への任意のファイブレーションは、必ずラグランジュファイブレーションであるか？
• RQ2 マーカシュヴィッチが示唆したように、非ラグランジュ的トーラスの族が、実際にファイブレーションを形成しないことはありうるか？
• RQ3 積分 ∫_F ω ∧ ω̄ ∧ A^{n-2} の消滅は、一般ファイバー F がラグランジュ的であることを示唆するか？
• RQ4 双線形形式 q_X は、この文脈におけるラグランジュファイブレーションを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 多様体のコホロロジー構造は、そのファイブレーションの幾何にどのように制約を加えるか？

主な発見

• 射影的非分解シンプレクティック多様体 X から射影的基底 B への任意のファイブレーション f: X → B はラグランジュファイブレーションである。
• このようなファイブレーションの一般ファイバー F はラグランジュ部分多様体であり、シンプレクティック形式 ω の F への制限が恒等的に 0 になることを意味する。
• コホロロジー的比較により、積分 ∫_F ω ∧ ω̄ ∧ A^{n-2} の消滅が確立され、ラグランジュ条件の確認がなされた。
• 双線形形式 q_X は、ω + ω̄ と A や H を含む交差項の消滅を保証し、これが証明にとって不可欠である。
• この結果により、一般ファイバーがアーベル多様体であることが示唆される。これは、ラグランジュファイブレーションがベイユの結果により完全可積分系であるためである。
• 証明により、文献における混乱を解消した。非ラグランジュ的トーラスが存在しても、それがファイブレーションを形成することは不可能であることが示された。