[論文レビュー] Addendum to : Orthonormal bases of regular wavelets in spaces of homogeneous type

Pascal Auscher, Tuomas Hytönen|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

この補遺は、元論文の命題4.5で主張された Hölder連続関数が $ L^p(u) $ に dense であるという主張が、'Borel測度'の定義に強く依存することを明確にしている。標準的な $ \sigma $-加法的 Borel 測度の下ではその結果は成り立つが、測度が外測度またはより広い $ \sigma $-代数上で $ \sigma $-加法的に定義される場合には、各 $ \nu $-可測集合が同じ測度を持つ Borel 集合に含まれるという追加の正則性条件——特に、$ \nu $-可測集合 $ A $ に対して $ \nu(A) = \nu(B) $ となる Borel 集合 $ B \supseteq A $ が存在する——が必要となる。これにより、$ 1 < p < \infty $ の場合にウェーブレット表現が $ L^p $ で有効であることが保証される。

ABSTRACT

We bring a precision to our cited work concerning the notion of "Borel measures", as the choice among different existing definitions impacts on the validity of the results.

研究の動機と目的

• 元論文で用いられた 'Borel測度' の定義における曖昧さを解消し、これが主要な結果の妥当性に影響することを明らかにすること。
• 命題4.5における稠密性の結果が、測度が Borel $ \sigma $-代数上で $ \sigma $-加法的であるか、外測度によって定義されるかに依存することを特定すること。
• 測度 $ \mu $ が外測度またはより大きな $ \sigma $-代数上で定義される場合、$ \mu $-可測集合 $ A $ に対して $ \mu(A) = \mu(B) $ となる Borel 集合 $ B \supseteq A $ が存在するという正則性条件が、元のウェーブレット表現結果が有効であるために必要となることの確立。
• このような正則性がなければ、Hölder連続関数の稠密性は、Borel可測代表元を持つ $ L^p $ 関数の部分空間でのみ成り立つことの明確化。
• ホモジニアス型空間におけるウェーブレット基底の整合性と正しさを、測度論的仮定の変動に応じて保証すること。

提案手法

• 文献における 'Borel測度' の定義の違いが与える影響を分析し、特に Borel $ \sigma $-代数上で $ \sigma $-加法的である測度と外測度との区別を行う。
• Carathéodory の拡張条件を検討し、$ \mu $-可測集合が同じ測度を持つ Borel 集合によって近似可能となる条件を同定する。
• 命題4.5の証明を再検討し、Hölder連続関数の稠密性に正則性仮定がどのように本質的になるかを特定する。
• 各 $ \mu $-可測集合 $ A $ に対して $ \mu(A) = \mu(B) $ となる Borel 集合 $ B \supseteq A $ が存在するという正則性条件を導入し、外測度設定下でも証明が成立することを保証する。
• [3] で定義された '正則な Borel 外測度' の概念を用い、すべての $ \mu $-可測集合に対してこの条件が成り立つことを確認する。
• 正則性仮定のもとで、関数が Borel可測代表元を持つ場合に限って、$ L^p $ におけるウェーブレット表現が $ 1 < p < \infty $ で有効であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 命題4.5で述べられている Hölder連続関数が $ L^p $ に稠密であるという主張は、'Borel測度' のすべての定義において成り立つか？
• RQ2 外測度または非 Borel $ \sigma $-代数上で定義された測度の文脈において、元の証明の妥当性を保つために必要な測度論的条件は何か？
• RQ3 測度の定義の選択が、ホモジニアス型空間におけるウェーブレット表現の妥当性にどのように影響するか？
• RQ4 与えられた測度のもとで、Borel可測代表元を持つ $ L^p $ 関数の空間が $ L^p $ に稠密であるための条件は何か？
• RQ5 測度が Carathéodory の意味で正則でない場合、元のウェーブレット構成結果は保持できるか？

主な発見

• 命題4.5の元の結果は、測度 $ \mu $ が Borel $ \sigma $-代数上で $ \sigma $-加法的である限り有効であり、この場合 Borel 集合と可測集合が一致するためである。
• 測度 $ \mu $ が外測度またはより大きな $ \sigma $-代数上で $ \sigma $-加法的に定義される場合には、各 $ \mu $-可測集合が同じ測度を持つ Borel 集合に含まれるという追加仮定が必要となる。
• この正則性条件がなければ、正しい結論は、有界な台を持つ Hölder 連続関数が、Borel可測代表元を持つ $ L^p $ 関数の部分空間において稠密であるということである。
• 正則性条件が仮定されない場合、ウェーブレット表現結果は $ 1 < p < \infty $ で有効であるが、その場合も関数はこの部分空間に制限される。
• この区別は重要である：正則性がなければ、ウェーブレット基底はすべての $ L^p $ 関数を表現できるとは限らず、Borel可測代表元を持つ関数に限られる。
• 本論文は、標準的な Borel 測度の定義のもとでは元の結果が正しいと確認しているが、より一般的な測度論的設定では明示的な正則性仮定の必要性を強調している。