[論文レビュー] Adding high powered relations to large groups

Marc Lackenby|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の有限生成な大群 $G$ および $G$ の任意の有限個の元 $g_1, \dots, g_r \in G$ に対して、商 $G / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ が無限個の整数 $n$ に対して大群の性質を保つことを確立している。特に、非アーベル自由群にマップする有限指数正規部分群 $H$ に対して、$n$ が $[G:H]$ の十分大きな倍数である場合に該当する。この結果は自由群に対しても拡張可能であり、その場合にはすべての $n$ に対して（有限個の例外を除き）大群の性質が保たれる。この結果は、3次元多様体の位相的応用に強く、特にデーン埋め込みと、無限個の埋め込み斜め方向における大群性の保存に応用される。

ABSTRACT

A group is known as `large' if some finite index subgroup admits a surjective homomorphism onto a non-abelian free group. The main theorem of the paper is as follows. Let G be a finitely generated, large group and let g_1,...,g_r be a collection of elements of G. Then G/<> is also large, for infinitely many integers n. Furthermore, when G is free, this holds for all but finitely many n. These results have the following application to Dehn surgery. Let M be a compact orientable 3-manifold with boundary a torus. Suppose that the 3-manifold obtained by Dehn filling some slope on the boundary has large fundamental group. Then this is true for infinitely many filling slopes.

研究の動機と目的

• 大群の元の高次の冪による商が大群の性質を保つ条件を確立すること。
• 特に群論および3次元多様体の位相的文脈において、高次の冪による商の下での双曲的および大群性に関する既知の結果を拡張すること。
• 被覆空間論およびコhomology的基準（特に定理1.3によるコhomology写像に関するもの）を用いた大群性の位相的証明を提供すること。
• 主結果をデーン埋め込みに応用し、あるデーン埋め込みで基本群が大群であるならば、無限個の埋め込みが同様に大群性を持つことを示すこと。

提案手法

• 自由群を円のバケツの基本群として位相的に実現し、$g_i^n$ を表すループに沿って2セルを貼り付けることによって2複体を構成する。
• 定理1.3を適用する。この定理は、コhomology群 $H^1(-; \mathbb{F}_p)$ への包含写像が単射でない（$p=2$ の場合には次元条件を満たす）場合に、基本群が大群であるというコhomology的基準を与える。
• 有限指数部分群を介して大群 $G$ を自由群に埋め込み、冪写像による元の像を分析することによって、定理1.1を定理1.2に還元する。
• 3次元多様体内のリンクにおけるデーン埋め込みの構造を用い、得られる多様体の基本群を元の群の商として、縁（meridians）と埋め込み斜め方向（filling slopes）を含む関係式で表す。
• 縁と埋め込み斜め方向の間の距離 $\Delta(\mu_i, s_i)$ を用いて、商における指数を制御し、位相的距離と代数的大小性を結びつける。
• 定理1.1を商群 $\pi_1(M)/\langle\!\langle \lambda_1^N, \dots, \lambda_r^N \rangle\!\rangle$ に適用し、無限個の $N$ に対してそれが大群であることを示し、したがって得られる基本群も大群であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大群の元の高次の冪による商が、大群性を保つ条件は何か？
• RQ2 自由群 $F$ に対して $F/\langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ がすべての $n$ に対して（有限個の例外を除き）大群であるという結果は、一般の大きな群へ拡張可能か？
• RQ3 1つの埋め込みで基本群が大群であると分かっている3次元多様体のデーン埋め込みにおいて、無限個の埋め込みが大群性を保つのか？
• RQ4 どのような位相的または代数的条件が、デーン埋め込みによって得られる3次元多様体の基本群が大群のままであることを保証するか？

主な発見

• 任意の有限生成大群 $G$ および元 $g_1, \dots, g_r$ に対して、商 $G / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ は、$n$ が非アーベル自由群にマップする有限指数正規部分群 $H$ の指数 $[G:H]$ の十分大きな倍数であるような無限個の整数 $n$ に対して大群である。
• 有限生成非アーベル自由群 $F$ の場合、商 $F / \langle\!\langle g_1^n, \dots, g_r^n \rangle\!\rangle$ はすべての $n$ に対して（有限個の例外を除き）大群である。これは一般の場合よりも強い結果をもたらす。
• 定理1.1から、$S^3$ 内の絡み目の $n$ 重の巡回分岐被覆の基本群は、すべての $n$ に対して大群であるとは限らないが、無限個の $n$ に対して大群であることが従う。
• 定理3.1は、$M$ がコンパクトな向きつけ可能な3次元多様体で基本群が大群であり、$L$ が $M$ 内のリンクであるとき、$Δ(\mu_i, s_i)$ が固定された $N$ で割り切れるような斜め方向 $s_i$ に対するデーン埋め込みは、無限個の斜め方向集合に対して、結果の多様体の基本群が大群であることを示している。
• 定理1.5は、$M$ がトーラス境界を持つ3次元多様体で、あるデーン埋め込みにより基本群が大群であるならば、無限個の異なる埋め込み斜め方向集合に対して同様に大群性が保たれる。