[論文レビュー] Adding integral action for open-loop exponentially stable semigroups and application to boundary control of PDE systems

Alexandre Terrand-Jeanne, Vincent Andrieu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、開ループで指数的安定性を示す無限次元系に対して、指数的出力安定化を達成する積分コントローラーのリャプノフに基づく設計手法を提案する。前向き設計技術を用いて新たなリャプノフ汎関数を構築することで、積分ゲイン選択の明示的条件を確立し、有界な制御演算子や測定演算子を仮定しないでも安定な制御が可能であることを示した。この手法は、放物型および双曲型PDE系に適用可能であり、閉ループ系の指数的安定性が保証される。

ABSTRACT

The paper deals with output feedback stabilization of exponentially stable systems by an integral controller. We propose appropriate Lyapunov functionals to prove exponential stability of the closed-loop system. An example of parabolic PDE (partial differential equation) systems and an example of hyperbolic systems are worked out to show how exponentially stabilizing integral controllers are designed. The proof is based on a novel Lyapunov functional construction which employs the forwarding techniques.

研究の動機と目的

• 無限次元系に対して積分制御を用いて出力安定化問題を解決すること、特に開ループ系が指数的安定である場合を対象とする。
• 積分制御を伴う閉ループ系の指数的安定性を保証するリャプノフ汎関数の構築法を開発すること。
• 分布定数系の安定化問題における、標準的な有界制御および測定演算子の仮定を緩和すること。
• 既存の双曲型PDE系の境界制御に関する結果を統一的かつリャプノフに基づく枠組みで一般化すること。
• 指数的安定性および出力安定化を保証するように、積分ゲイン $ k_i $ およびコントローラ行列 $ K_i $ を明示的に決定すること。

提案手法

• 状態と積分誤差を含む拡張状態空間 $ \mathcal{X}_e = \mathcal{X} \times \mathbb{R}^m $ に対して、新たなリャプノフ汎関数を構築する。
• 前向き設計技術を適用してリャプノフ汎関数を設計し、積分制御を伴う閉ループ系のダイナミクスを適切に捉えるようにする。
• 制御演算子に有界性を課し、測定演算子の適切性（admissibility）を仮定することで、問題の適切な定義と安定性を保証する。
• リャプノフ汎関数の時間微分を系の軌道に沿って解析することで、指数的安定性の十分条件を導出する。
• 抽象的コーシー問題および境界制御された双曲型PDE系にこの手法を適用し、エネルギー推定と部分積分を用いる。
• 安定性不等式を用いて積分ゲイン $ k_i $ およびコントローラ行列 $ K_i $ を明示的に計算し、指数的安定性が保証される上界 $ k_i^* $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な制御演算子の仮定なしに、指数的安定な抽象的コーシー問題に対して、積分コントローラーを備えた閉ループ系にリャプノフ汎関数を構築できるか？
• RQ2 指数的安定性および出力安定化を保証するために、積分ゲイン $ k_i $ およびコントローラ行列 $ K_i $ をどのように明示的に決定できるか？
• RQ3 提案されたリャプノフに基づく手法を境界制御を伴う双曲型PDE系に拡張可能か？ 既存の結果を一般化できるか？
• RQ4 系の演算子にどのような条件を課すと、積分制御下でも閉ループ系が適切に定義され、指数的に安定するか？
• RQ5 測定演算子が有界でなくても、定常不整合の影響を受ける状況においても、本手法は出力を安定化可能か？

主な発見

• 積分制御を伴う閉ループ系に対して、制御および測定演算子に関する弱い仮定のもとで指数的安定性を保証する新たなリャプノフ汎関数を構築した。
• 指数的安定性を保証する最大許容積分ゲイン $ k_i^* = \frac{\sqrt{\mu \underline{P}}}{|M| \overline{\Psi} \sqrt{c |T_2^{-1}|}} $ の明示的表現が得られ、これが保証される。
• 制御または測定演算子の有界性を仮定しないため、より広範なPDE系クラスへの適用可能性が拡張された。
• 双曲型PDE系に対しては、波動方程式や輸送方程式に関する既存の境界安定化結果を統一的に一般化した。
• 部分積分とエネルギー推定に基づく証明技法により、境界結合や非滑らか解の取り扱いがPDEの文脈で可能となった。
• 定常不整合が存在する状況においても、出力が指数的に参考入力に収束することを保証し、収束速度の明示的上限が得られた。