[論文レビュー] Adding Level Structure to Supersingular Elliptic Curve Isogeny Graphs

Sarah Arpin|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Cryptography and Residue Arithmetic被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を導入することで、古典的なDeuring対応を拡張し、その自己準同型環がクaternion代数内のレベル$N$ のEichler整域をなすことを示している。超特異的楕円曲線にレベル構造を備えたものと、それらのEichler整域上の可逆左加群の間のカテゴリの同値性を確立し、$p$, $N$, $ackslashell$ が互いに素である場合に、レベル構造付き$ackslashell$-同種グラフが連結であることを証明することで、最近の破綻に耐性のある強化された同種基盤暗号の基盤を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we add the information of level structure to supersingular elliptic curves and study these objects with the motivation of isogeny-based cryptography. Supersingular elliptic curves with level structure map to Eichler orders in a quaternion algebra, just as supersingular elliptic curves map to maximal orders in a quaternion algebra via the classical Deuring correspondence. We study this map and the Eichler orders themselves. We also look at isogeny graphs of supersingular elliptic curves with level structure, and how they relate to graphs of Eichler orders.

研究の動機と目的

• 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものについて、その自己準同型環がEichler整域として特徴づけられることにより、Deuring対応を拡張すること。
• 超特異的曲線のレベル構造付き同型類からEichler整域への写像の非単射性の原因を、同型類上の対合を介して理解すること。
• 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものと、それらの自己準同型環上の可逆左加群のカテゴリの間の正式な同値性を確立すること。
• レベル-$N$ 構造付き$ackslashell$-同種グラフの構造を分析し、その連結性を証明すること。これは同種基盤暗号への応用を動機としている。
• レベル構造を組み込むことで、SIKEなどのプロトコルで露呈した脆弱性を回避し、より安全な同種基盤暗号プロトコルを構築するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものを、$E$ が$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上に定義された超特異的で、$G \subseteq E[N]$ が位数$N$ の巡回部分群であるペア$(E, G)$として定義する。
• 自己準同型環$\mathcal{O}(E,G) = \{\alpha \in \text{End}(E) \mid \alpha(G) \subseteq G\}$を、クaternion代数$\text{End}(E) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$内のレベル$N$ のEichler整域として特徴づける。
• Eichler整域の両側イデアル類群の理論を用いて、$(E,G)$ から$\mathcal{O}(E,G)$ への写像のファイバーのサイズを記述し、$N = q_1 \cdots q_r$ が平方自由であるとき、$k \in \{0,1,\dots,r+1\}$ に対して$2^k$ に等しいことを示す。
• 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものから、可逆左$\mathcal{O}(E,G)$-加群への反変関手$\mathcal{h}_{(E,G)}$ を構成し、それがカテゴリの同値性であることを証明する。
• レベル-$N$ 構造付き$ackslashell$-同種のグラフ$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$ を定義する。頂点は同型類$(E,G)$ でラベル付けされ、辺は次数$\ell$ の同種で表される。
• Goren–Kassaeiのグラフからの全射写像と、Roda (2019) の条件を用いて、$p$, $N$, $\ell$ が互いに素であるとき、$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$ の連結性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものの自己準同型環は、クaternion代数内のどの整域と関係するか？
• RQ2 超特異的曲線のレベル-$N$ 構造付き同型類から、レベル$N$ のEichler整域の同型類への写像のファイバーの構造はいかなるものか？
• RQ3 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものと、それらの自己準同型環上の加群との間でカテゴリの同値性を確立できるか？
• RQ4 レベル構造の導入は、超特異的設定における$ackslashell$-同種グラフの連結性と構造にどのように影響するか？
• RQ5 レベル構造を用いることで、SIKEの破綻に繋がった情報漏洩を回避し、より安全な同種基盤暗号プロトコルを構築できるか？

主な発見

• 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものの自己準同型環$\mathcal{O}(E,G)$ は、クaternion代数$\text{End}(E) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$内のレベル$N$ のEichler整域に同型である。
• 与えられたEichler整域$\mathcal{O}$ を自己準同型環として持つ、超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えた同型類の数は、$\mathcal{O}$ の両側イデアル類群のサイズに等しく、$N = q_1 \cdots q_r$ が平方自由であるとき、$k \in \{0,1,\dots,r+1\}$ に対して$2^k$ に等しい。
• 超特異的楕円曲線にレベル-$N$ 構造を備えたものと、それらの自己準同型環$\mathcal{O}(E,G)$ 上の可逆左加群とのカテゴリの間で同値性が確立された。
• レベル-$N$ 構造付き$ackslashell$-同種グラフ$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$ は、$p$, $N$, $\ell$ が互いに素である限り、連結である。これはGoren–Kassaeiのグラフからの全射写像とRoda (2019) の条件を用いて示された。
• $p \equiv 1 \pmod{12}$ のとき、自己準同型の作用により核が双対写像と同一視できるため、$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$ は非有向グラフとして描画可能である。
• $\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$ の各超特異的$j$-不変量（$j=0,1728$ を除く）には$N+1$ 個の頂点があり、$\mathcal{E}^{N}_{p,\ell}$ から古典的$ackslashell$-同種グラフへの頂点写像は、非特異的$j$-不変量において$(N+1)$ 対$1$ である。