[論文レビュー] Adding random edges to create the square of a Hamilton cycle

Patrick Bennett, Andrzej Dudek+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、最小次数 $ \alpha n $（$ \alpha > 1/2 $）を満たすグラフに $ O(n^{4/3} /\log^{1/3}n) $ 個のランダムな辺を追加することで、高確率でハミルトン閉路の平方が得られることを示している。手法は3段階のランダム辺追加と、2パスの構築と閉路化に用いる回転ベースのアルゴリズム（ERA）を組み合わせており、連結性と辺密度を活用して、望ましいサイクル構造の存在を保証している。

ABSTRACT

We consider how many random edges need to be added to a graph of order $n$ with minimum degree $αn$ in order that it contains the square of a Hamilton cycle w.h.p..

研究の動機と目的

• 最小次数 $ \alpha n $（$ \alpha > 1/2 $）を満たすグラフにおいて、ハミルトン閉路の平方が存在するためのランダム辺の最小数を特定すること。
• Bohman, Frieze, and Martinのハミルトニアン性に関する結果を、ハミルトン閉路の平方へと拡張すること。
• 密グラフにおいて、ハミルトン閉路の平方が高確率で得られるようになるランダム辺追加の閾値を提供すること。
• 2パスの構造的性質と、回転と拡張アルゴリズム（ERA）を用いたランダム辺による閉路化の分析。

提案手法

• ランダム辺集合 $ X $ を3つの独立な部分集合 $ X_1, X_2, X_3 $ に分割し、各辺の包含確率を $ p = \frac{K \log^{1/3}n}{n^{2/3}} $ とする。
• $ X_1 $ を用いて、ランダムな完全マッチングの辺集合上にグラフ $ \Gamma_1 = \Pi(G + X_1) $ を構築し、辺は $ K_4 $-誘導部分グラフを表す。
• Azuma-Hoeffdingの不等式を用いて、$ \Gamma_1 $ が高確率で最小次数 $ \beta_1 n $ 以上（$ \beta_1 = (2\alpha - 1)^3 / 2 $）を満たすことを確立する。
• $ X_2 $ を用いて $ \Gamma_2 = \Pi(G + X_1 + X_2) $ を構成し、コンponents拡張の議論により、高確率で連結であることを証明する。
• エッジ回転アルゴリズム（ERA）を用い、$ \Gamma $ の辺を反復的に回転・拡張し、$ X_3 $ を用いて閉路化を試みる。
• 奇数の $ n $ の場合、ピラーパターンを維持しパスの閉路化を可能にする特別な部分グラフ（図5）を構築するために、追加の辺集合 $ X_4 $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数 $ \alpha n $（$ \alpha > 1/2 $）を満たすグラフにおいて、ハミルトン閉路の平方が存在するためのランダム辺の閾値は何か？
• RQ2 回転と拡張アルゴリズム（ERA）は、$ O(n^{4/3} \log^{1/3}n) $ 個のランダム辺のみを用いて、2パスを閉路化してハミルトン閉路の平方を構成できるか？
• RQ3 $ \Gamma_2 $ の連結性は、ERAフレームワーク内でのサイクル拡張と閉路化をどのように支援するか？
• RQ4 最小次数が $ n/2 $ より著しく低い場合、必要なランダム辺の数の下界は何か？

主な発見

• 任意の $ \alpha > 1/2 $ に対して、定数 $ K = K(\alpha) $ が存在し、$ |X| \geq K n^{4/3} \log^{1/3}n $ 個のランダム辺を追加することで、ハミルトン閉路の平方が高確率で存在することが保証される。
• グラフ $ \Gamma_1 = \Pi(G + X_1) $ は高確率で最小次数 $ \beta_1 n $ 以上（$ \beta_1 = (2\alpha - 1)^3 / 2 $）を満たす。
• グラフ $ \Gamma_2 = \Pi(G + X_1 + X_2) $ は高確率で連結であり、ERAアルゴリズムにおけるサイクル拡張を可能にする。
• エッジ回転アルゴリズム（ERA）は、高確率で2パスを閉路化してサイクルを形成することができ、失敗確率は $ \exp(-\Omega(\log n)) $ で抑えられる。
• 奇数の $ n $ の場合、ピラーに基づくパス構築と閉路化を支援する特別な部分グラフを維持するために、補助的辺集合 $ X_4 $ が用いられる。
• 最小次数 $ \alpha n $ を持つグラフにおいて、$ \alpha $ が小さい場合、$ \Omega(n^{3/2 - o(1)}) $ 個のランダム辺が必要であることが示され、最適な $ n^{3/2} $ の境界に近い。