[論文レビュー] Adding tails to C*-correspondences

Paul S. Muhly, Mark Tomforde|ArXiv.org|Dec 19, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 55

ひとこと要約

本稿では、C*-対応に「テール」を追加する手法を導入し、一般の C*-対応を左作用が単射であるものに変換することで、特にゲージ不変性の独自性定理を、拡張された Cuntz-Pimsner 代数から一般の C*-代数にまで拡張可能にする。主な貢献は、元の代数とテールを追加した代数のフルコーナーとの間に自然な同型写像が存在することであり、ゲージ不変性構造を保つ。

ABSTRACT

We describe a method of adding tails to C*-correspondences which generalizes the process used in the study of graph C*-algebras. We show how this technique can be used to extend results for augmented Cuntz-Pimsner algebras to C*-algebras associated to general C*-correspondences, and as an application we prove a gauge-invariant uniqueness theorem for these algebras. We also define a notion of relative graph C*-algebras and show that properties of these C*-algebras can provide insight and motivation for results about relative Cuntz-Pimsner algebras.

研究の動機と目的

• 拡張された Cuntz-Pimsner 代数（左作用が単射）における結果を、一般の C*-対応に付随する C*-代数へと拡張すること。
• 標準的な Cuntz-Pimsner 構成がシンクを含むグラフ C*-代数を捕捉できないという制限を解消すること。
• 一般の C*-代数に関する問いを、テール拡張プロセスを通じて拡張された C*-代数に関する問いに還元する体系的な手法を提供すること。
• テール追加技術を用いて、一般の C*-対応に付随する C*-代数についてのゲージ不変性の独自性定理を確立すること。

提案手法

• 各シンクにテールを追加することで、与えられた X から新しい C*-対応 Y を構成し、Y における左作用が単射であることを保証する。
• O_Y の乗法的代数に属する射影 p を定義し、O_X がフルコーナー pO_Yp に同型であることを示す。
• Rieffel の対応を用いて、O_X と O_Y のイデアルを関連づけ、ゲージ不変性を保つ。
• O_X ≅ pO_Yp であり、p がゲージ不変であることに着目し、O_Y から O_X への性質の転送を行う。
• O_Y については既に拡張された代数としてゲージ不変性の独自性定理が確立されているので、コーナー同型を介してそれらを O_X へと拡張する。
• イデアル I ⊆ A に対して I(O_X) を対応づける写像が、A 内の X-不変かつ X-飽和的イデアルと O_X 内のゲージ不変イデアルの間のラティス同型を定める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張された Cuntz-Pimsner 代数（左作用が単射）における結果を、一般の C*-対応に付随する C*-代数へと拡張できるか？
• RQ2 左作用が非単射である場合に、Cuntz-Pimsner 代数構成をどのように修正すれば、シンクを含むグラフ C*-代数を回復できるか？
• RQ3 一般の C*-代数 O_X を、対応の修正によって、拡張された C*-代数 O_Y のフルコーナーとして埋め込むための標準的かつ一意な方法はあるか？
• RQ4 ゲージ不変性の独自性定理は、拡張されたものに限らず、一般の C*-対応に付随する C*-代数に対しても成り立つか？
• RQ5 テール追加を介して、O_X のイデアル構造を、より取り扱いやすい O_Y のイデアル構造に還元できるか？

主な発見

• 一般の C*-対応 X に付随する C*-代数 O_X は、テールを追加した対応 Y に付随する C*-代数 O_Y のフルコーナー pO_Yp に自然に同型である。
• テール追加プロセスにより、Y における左作用が単射であることが保証され、O_Y は拡張された Cuntz-Pimsner 代数となる。
• O_Y におけるゲージ不変性の独自性定理がコーナー同型を介して O_X へと拡張され、一般の C*-代数に対しても定理が成立することが示された。
• A 内の X-不変かつ X-飽和的イデアルと O_X 内のゲージ不変イデアルとの間で、写像 I ↦ I(O_X) がラティス同型を定める。
• O_Y と O_X のイデアル間の Rieffel の対応は、射影 p がゲージ不変であることから、ゲージ不変性を保つ。
• この構成により、O_X に関する多くの構造的問いは、Morita 同値で保存される性質を有するより取り扱いやすい O_Y に関する同様の問いに還元可能である。