[論文レビュー] Addition and Differentiation of ZX-Diagrams

Emmanuel Jeandel, Simon Perdrix+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Database Systems and Queries被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックな量子回路における微分の完全な図式的計算を可能にする、ZX図式の帰納的加算および微分法を提案する。制御状態と帰納的書き換え規則を活用することで、形式的和を用いずとも、QAOA や VQE などの変分量子アルゴリズムへの直接適用が可能になる。

ABSTRACT

The ZX-calculus is a powerful framework for reasoning in quantum computing. It provides in particular a compact representation of matrices of interests. A peculiar property of the ZX-calculus is the absence of a formal sum allowing the linear combinations of arbitrary ZX-diagrams. The universality of the formalism guarantees however that for any two ZX-diagrams, the sum of their interpretations can be represented by a ZX-diagram. We introduce a general, inductive definition of the addition of ZX-diagrams, relying on the construction of controlled diagrams. Based on this addition technique, we provide an inductive differentiation of ZX-diagrams. Indeed, given a ZX-diagram with variables in the description of its angles, one can differentiate the diagram according to one of these variables. Differentiation is ubiquitous in quantum mechanics and quantum computing (e.g. for solving optimization problems). Technically, differentiation of ZX-diagrams is strongly related to summation as witnessed by the product rules. We also introduce an alternative, non inductive, differentiation technique rather based on the isolation of the variables. Finally, we apply our results to deduce a diagram for an Ising Hamiltonian.

研究の動機と目的

• ZX計算体系に形式的和演算が存在しないことによる、パラメトリックな量子回路の微分の困難さを解消する。
• QAOA や VQE などの変分量子アルゴリズムにおける図式的微分を可能にし、パラメータ最適化に不可欠な微分の利用を支援する。
• パラメトリックなZX図式の微分を、形式的和や図の集合を避けても、別のZX図式として表現する手法を開発する。
• 図式的性質を保ちつつ、加算および微分の構成的で帰納的なフレームワークを提供する。
• 指数的ユニタリ進化からイジングハミルトニアンの図式を導出することで、手法の有効性を実証する。

提案手法

• 制御状態が和をサポートすることが知られていることに基づき、制御状態に基づくZX図式の帰納的加算手順を導入する。
• 制御状態を用いて任意のZX図式を帰納的に表現し、制御状態の加算により任意の2つの図式の和を実現する。
• 積の微分法則 (∂(fg) = ∂f·g + f·∂g) を図式形式に明示的に埋め込むことで、帰納的微分規則を導出する。
• パラメータ β に線形的に依存する角度を持つ線形ZX図式族 ZX(β) に微分法を適用する。
• 図式内の変数依存部品を分離することで、非帰納的微分技法の代替案を提示する。
• ストーンの定理を用いて、ユニタリ進化図式の微分からハミルトニアンを再構成し、図式的ハミルトニアン合成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2つのZX図式の和を、ZX計算体系内で完全に定義・計算できるか？
• RQ2 パラメトリックなZX図式の微分を、形式的和を避けても単一のZX図式として表現できるか？
• RQ3 微分の積の法則を、ZX計算体系内で図式的にどのように表現できるか？
• RQ4 この手法を用いて、指数的ユニタリ進化からハミルトニアン図式を導出できるか？
• RQ5 このアプローチが、変分量子アルゴリズムの解析および最適化に与える実用的影響は何か？

主な発見

• 本稿では、問題を制御状態の和に帰着させることで、任意の2つのZX図式の加算を完全に帰納的に実行する手法を提供する。
• パラメトリックなZX図式の微分が、単一のZX図式として表現可能であることが示され、完全な図式的微分計算が可能になる。
• 線形図式族 ZX(β) に対して、明示的で単純な微分公式が導出され、変分回路の解析が著しく簡素化される。
• 本手法により、例6.3で示されるように、指数的ユニタリ進化の微分からイジングハミルトニアンの図式を図式的に再構成できる。
• ZX計算体系の書き換え規則を用いて、⟨ψ(β)|H|ψ(β)⟩ 及びその微分のような式を完全に図式的に簡略化でき、図式的最適化を支援する。
• eiβH の微分からハミルトニアン H = Z₁ − Z₂ + Z₁Z₂ を導出することで、正しさがストーンの定理により確認され、手法の妥当性が検証された。