[論文レビュー] Addition formula for q-disk polynomials

Paul G. A. Floris|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子群理論を用いて、ディスク多項式の加法公式のqアナロジーを提示する。SapiroとKoornwinderによる古典的結果を拡張し、単位円板上の直交多項式であるq-ディスク多項式の加法公式を、量子群表現を活用して確立する。これは、ジャコビ多項式およびディスク多項式の先行研究をq変形設定に一般化し、量子代数および特殊関数への応用を含む。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to present an addition formula for so-called $q$-disk polynomials, using some quantum group theory. This result is a $q$-analogue of a result which was proved around 1970 by ${\breve{ ext S}}$apiro [S] and Koornwinder [Koo1,2] independently. They considered the homogeneous space $U(n)/U(n-1)$, were $U(n)$ denotes the group of unitary transformations of the vector space $\C^n$, and identified the corresponding zonal spherical functions as disk polynomials, in the terminology of [Koo2]. These are orthogonal polynomials in two variables whose orthogonality measure is supported by the closed unit disk in the complex plane, and which can be expressed in terms of Jacobi polynomials $P_n^{(\a,\b)} (x)$ for certain integer values of the parameters $\a$ and $\b$. The associated spher ical funtions were shown to be also expressible in terms of disk polynomials, and from this an addition formula was proved for (positive) integer values of $\a$ and $\b$. By an easy argument this identity was then extended to all complex values of $\a$ (and from this Koornwinder could even derive an addition formula for general Jacobi polynomials). And in fact the line of arguing and the results in this paper will be very similar to (part of) the ones in [Koo2].

研究の動機と目的

• 古典的ディスク多項式の加法公式を、量子群理論を用いてq変形設定に拡張すること。
• 量子空間Uq(n)/Uq(n−1)における球対称関数の加法公式のqアナロジーを確立すること。
• 古典的ジャコビ多項式およびディスク多項式の結果を、それらのqアナロジー版に一般化すること。
• 複素平面上の単位円板における直交多項式のための量子群理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 量子ユニタリ群Uq(n)を用いて加法公式を導出する、量子群理論を活用する。
• 量子同次空間Uq(n)/Uq(n−1)に表現論的技法を適用する。
• 量子群におけるゾーン型球対称関数をq-ディスク多項式として特定する。
• SapiroとKoornwinderが用いた古典的手法のqアナロジーを、量子設定に適応する。
• パrameter値に関して、q-ディスク多項式とq-ジャコビ多項式の関係に依存する。
• 整数パラメータから複素パラメータへの結果の拡張を、解析接続の議論により行う。古典理論と同様の手法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ディスク多項式の加法公式を、どのようにq変形設定に一般化できるか？
• RQ2 量子群表現は、q直交多項式の加法公式を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 q-ディスク多項式は、どのように量子同次空間上のゾーン型球対称関数として現れるか？
• RQ4 古典的ディスク多項式に用いられた手法を、量子群フレームワークに適応できるか？
• RQ5 加法公式の文脈において、q-ディスク多項式とq-ジャコビ多項式の関係は何か？

主な発見

• 本稿では、量子群理論を用いて、ディスク多項式のqアナロジー加法公式を導出する。
• 量子同次空間Uq(n)/Uq(n−1)におけるゾーン型球対称関数は、q-ディスク多項式として特定される。
• q-ディスク多項式の加法公式は、量子群表現論を用いて確立される。
• 結果は、SapiroとKoornwinderの古典的加法公式をq変形ケースに一般化する。
• 解析接続の議論により、古典的結果と同様に、公式を整数パラメータから複素パラメータへ拡張可能である。
• 構成手法により、q-ディスク多項式がq変形測度に関して単位円板上での直交多項式としての役割を果たすことが確認される。