[論文レビュー] Addition on a Quantum Computer

Thomas G. Draper|ArXiv.org|Aug 7, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 196

ひとこと要約

この論文では、一時的なキャリービットを必要とせず、量子フーリエ変換（QFT）を活用して、量子コンピュータ上で2つの数を加算する新しい量子加算アルゴリズムを提案する。これにより、qubitのオーバーヘッドを3nから2nに削減する。入力状態をQFTで変換し、2番目の被加数に応じた位相回転を適用した後、逆変換することで、並列化可能な効率的な加算が可能となり、並列実行下では対数時間の実行時間にまで短縮可能である。

ABSTRACT

A new method for computing sums on a quantum computer is introduced. This technique uses the quantum Fourier transform and reduces the number of qubits necessary for addition by removing the need for temporary carry bits. This approach also allows the addition of a classical number to a quantum superposition without encoding the classical number in the quantum register. This method also allows for massive parallelization in its execution.

研究の動機と目的

• 一時的なキャリービットを必要としない量子加算アルゴリズムの開発。これは、古典的アプローチに基づく可逆加算器に由来する。
• 量子重ね合わせ状態に古典的数を加算する方法の実現。この際、古典的数を量子レジスタに符号化する必要がない。
• 中間のキャリービットの保存を排除することで、量子加算に必要な総qubit数を3nから2nに削減すること。
• QFTの構造を活用し、ゲート操作の並列性を大幅に高め、実行時間のスケーラビリティを向上させること。
• ショアの因数分解アルゴリズムのようなより効率的な量子アルゴリズムの実装の基盤を提供すること。

提案手法

• 最初の入力数 |a⟩ に量子フーリエ変換（QFT）を適用し、aの2進数桁に依存する位相因子を含む重ね合わせ状態に変換する。
• 2番目の数bを用いて、変換された状態の各qubitに条件付き位相回転（R_kゲート）を適用し、QFT基底においてbをaに加算する。
• 各回転R_kはbのqubitによって制御され、ターゲットqubitに位相シフト e(1/2^k) を適用する。その累積効果として、QFT領域内でのa+bの加算が実現される。
• 位相回転の後、逆QFTを適用して、計算基底における状態 |a+b⟩ を回復する。
• アルゴリズムのゲート操作は可換であるため、同じ深さの回転は同時に実行可能であり、十分な並列性があれば実行時間をO(log n)にまで短縮できる。
• しきい値以下の回転を破棄することで、さらに性能を最適化する近似QFT（AQFT）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一時的なキャリービットを必要とせずに、3n未満のqubit数で量子加算を実現できるか？
• RQ2 QFTをどのように活用すれば、古典的可逆加算とは根本的に異なる方法で加算を実現できるか？
• RQ3 ゲート操作の再順序付けやグループ化によって、量子加算における並列性をどの程度活用できるか？
• RQ4 近似QFT（AQFT）を用いることで、量子加算の正確性と効率性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 この手法が、ショアの因数分解のような大規模量子アルゴリズムにおけるqubit効率をどの程度向上させるか？

主な発見

• 提案された量子加算アルゴリズムにより、一時的なキャリービットの必要性が排除され、必要なqubit数が3nから2nに削減された。
• この手法により、量子重ね合わせ状態に古典的数を加算することができるが、その古典的数は量子レジスタに符号化されない。
• アルゴリズムのゲート操作は可換であるため、同じ深さの回転を同時に実行可能であり、最適な並列性下では実行時間をO(n+1)またはO(log n)にまで短縮できる。
• 近似QFT（AQFT）を用いることで、操作数をO(n log n)にまで削減でき、実用上は無視できる誤差で保たれる。
• この手法により、ショアの因数分解アルゴリズムを3nではなく2nのqubitで実装可能となり、リソースのオーバーヘッドが顕著に削減される。
• 古典的手法と同等の漸近的ゲート複雑度O(n³)を維持しつつ、特にニアテーム量子ハードウェアにおいて顕著なqubit効率の向上を達成している。