[論文レビュー] Additional close links between balancing and Lucas-balancing polynomials

Robert Frontczak, Taras Goy|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、通常型母関数を用いて、バランス化多項式およびラクルスバランス化多項式に関する新しい恒等式を導出しており、チェビシェフ多項式、フィボナッチ数、ラクルス数との深い関係を明らかにしている。主な結果として、これらの数列を特定の点で評価した場合の新しい組合せ的恒等式が得られ、母関数の操作とバイネ型公式を用いた多項式間の閉形式関係も導出された。

ABSTRACT

Using generating functions, we derive many identities involving balancing and Lucas-balancing polynomials. By relating these polynomials to Chebyshev polynomials of the first and second kind, and Fibonacci and Lucas numbers, we offer some presumably new combinatorial identities involving these famous sequences.

研究の動機と目的

• 生成関数を用いて、バランス化多項式およびラクルスバランス化多項式を含む新しい代数的および組合せ的恒等式を確立すること。
• これらの多項式と、第一種および第二種チェビシェフ多項式を含む古典的直交多項式との関係を調査すること。
• 特定の値で評価した場合に、フィボナッチ数およびラクルス数を含む既知の結果に帰着する恒等式を導出すること。
• これらの多項式の有限積和および微分関係に関する以前の結果を統合・拡張すること。
• 単位根およびラクルス数を含む重要な点での多項式恒等式の評価を通じて、新しい組合せ的恒等式を提示すること。

提案手法

• 線形再帰の生成関数に関する既知の補題を用いて、$ B_n(x) $、$ C_n(x) $ およびその偶数・奇数番目の部分列の通常型母関数を導出する。
• $ \lambda(x) = 3x + \sqrt{9x^2 - 1} $ を含む $ B_n(x) $ および $ C_n(x) $ のバイネの公式を用い、恒等式を代数的に検証する。
• 生成関数の操作を応用し、$ B_n(x) $、$ C_n(x) $ およびその偶数・奇数番目の成分の間の再帰的類似の恒等式を導出する。
• $ x = \frac{\varepsilon_n}{6}L_s $ における恒等式の評価（$ \varepsilon_n $ は $ 1 $ または $ i $）により、フィボナッチ数およびラクルス数を含む恒等式を生成する。
• 黄金比 $ \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $、$ \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2} $ を用いて、恒等式をフィボナッチ数およびラクルス数列の形に表現する。
• 二項係数、$ \frac{\sqrt{5}F_s}{2} $ の累乗、および符号の交互に現れる項を含む対称的恒等式を導出し、フィボナッチ数およびラクルス数の和を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数を用いて、バランス化多項式およびラクルスバランス化多項式の間の新しい恒等式をどのように導出できるか？
• RQ2 バランス化多項式と第一種および第二種チェビシェフ多項式との間にどのような関係があるか？
• RQ3 多項式恒等式を $ x = \frac{\varepsilon_n}{6}L_s $ で評価すると、フィボナッチ数およびラクルス数の新しい組合せ的恒等式がどのように得られるか？
• RQ4 二項係数と $ \frac{\sqrt{5}F_s}{2} $ の累乗、符号の交互に現れる項を含む和の対称的恒等式は、どのようにしてフィボナッチ数およびラクルス数の和に関連するか？
• RQ5 多項式 $ B_n(x) $ および $ C_n(x) $ の構造を用いて、$ F_{sn} $、$ L_{sn} $ およびそれらの積を含む恒等式を導出できるか？

主な発見

• すべての $ n \geq 1 $ に対して、恒等式 $ B_n(x) - 3x B_{n-1}(x) = C_{n-1}(x) $ が成り立つ。これは、2つの多項式族の間の直接的な代数的関係を確立する。
• 生成関数解析を用いて導出され、バイネの公式を用いて検証された関係 $ 3x(B_{2n+1}(x) - B_{2n-1}(x)) = C_{2n+1}(x) + C_{2n-1}(x) $ が得られた。
• $ x = \frac{\varepsilon_n}{6}L_s $ における評価により、恒等式 $ C_n\left(\frac{\varepsilon_n}{6}L_s\right) = \varepsilon_n^n \frac{L_{sn}}{2} $ が確立され、ラクルスバランス化多項式とラクルス数の関係が示された。
• 一般多項式恒等式の特殊ケースとして、恒等式 $ 2F_{sn} = F_s L_{s(n-1)} + L_s F_{s(n-1)} $ が導出された。
• 二項係数および $ \frac{\sqrt{5}F_s}{2} $ の累乗を含む対称的恒等式が証明された：$ \sqrt{5}\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \left(\frac{\sqrt{5}F_s}{2}\right)^{n-k}(1+(-1)^{n-k})F_{ks} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\frac{\sqrt{5}F_s}{2}\right)^{n-k}(1-(-1)^{n-k})L_{ks} $。
• 本稿では、$ F_{2sn} - (-1)^s F_{2s(n-1)} = F_s L_{s(2n-1)} $ が成り立つことが示され、多項式評価を通じてフィボナッチ数とラクルス数の間の新しい関係が明らかになった。