[論文レビュー] Additional degrees of freedom associated with position measurements in non-commutative quantum mechanics

Christian M. Rohwer, Scholtz, FG|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非可換量子力学における位置測定が、量子状態を完全に指定するために空間座標を超える追加の自由度を必要とするということを示している。弱い測定（非射影的測定）を正の作用素値測定（POVMs）を用いて行い、非局所的なスター積形式が、拡張された構造を持つ粒子、あるいは内因的角運動量を有する点粒子による局所的記述に同等に置き換えられることを示している。これにより、これらの追加自由度が物理的に意味を持ち、ゲージ不変な形式においてゲージに類似した性質を示すことが明らかになった。

ABSTRACT

In this thesis we shall demonstrate that a measurement of position alone in non-commutative space cannot yield complete information about the quantum state of a particle. Indeed, the formalism used entails a description that is non-local in that it requires all orders of positional derivatives through the star product that is used ubiquitously to map operator multiplication onto function multiplication in non-commutative systems. It will be shown that there exist several equivalent local descriptions, which are arrived at via the introduction of additional degrees of freedom. Consequently non-commutative quantum mechanical position measurements necessarily confront us with some additional structure which is necessary to specify quantum states completely. The remainder of the thesis, will involve investigations into the physical interpretation of these additional degrees of freedom. For one particular local formulation, the corresponding classical theory will be used to demonstrate that the concept of extended, structured objects emerges quite naturally and unavoidably there. This description will be shown to be equivalent to one describing a two-charge harmonically interacting composite in a strong magnetic field found by Susskind. It will be argued that these notions also extend naturally to the quantum level, and constraints will be shown to arise there. A further local formulation will be introduced, with an interpretation in terms of objects located at a point with a certain angular momentum about that point. This again enforces the idea of particles that are not point-like. Both local descriptions make explicit the additional structure which is encoded more subtly in the non-local description. Additional degrees of freedom introduced by local descriptions may also be thought of as gauge degrees of freedom in a gauge-invariant formulation of the theory.

研究の動機と目的

• 最小長スケールが存在する非可換空間における位置測定の定義に生じる曖昧さを解消すること。
• 非可換系において、位置のみの測定では量子状態を完全に再構成できないことの証明。
• 非可換量子力学の非局所的スター積形式を、追加の構造的自由度を明示する局所的同等形式に発展させること。
• これらの追加自由度を物理的に解釈し、拡張された物体や内因的角運動量と結びつけること。
• 非可換量子力学のゲージ不変な形式において、これらの自由度がゲージ自由度として理解できるかどうかを調査すること。

提案手法

• 正の作用素値測定（POVMs）を用いた弱い（非射影的）測定を用いて、位置測定を形式化すること。
• スター積を用いて演算子の積を関数の積に写像し、位置微分のすべての次数にわたる非局所的依存性を明らかにすること。
• 内部構造や角運動量などの追加自由度を導入することで、同等の局所的記述を導出すること。
• 拡張された調和的に相互作用する二電荷系が自然に現れる古典的極限を構築すること。
• 粒子が点粒子であるが、その位置まわりに固定された角運動量を有する第二の局所的記述を導入すること。
• 理論のゲージ構造を分析し、追加自由度がゲージ不変な枠組みにおいてゲージ自由度として解釈可能であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換量子力学における位置測定は、量子状態を完全に決定できるか？
• RQ2 位置測定が不完全な場合に必要な追加自由度の物理的意味は何か？
• RQ3 非局所的なスター積形式を、追加構造を明示する局所的記述にどのように置き換えられるか？
• RQ4 古典的極限において、これらの追加自由度は拡張された物体または内因的角運動量に対応するか？
• RQ5 非可換量子力学のゲージ不変な形式において、これらの追加自由度をゲージ自由度として解釈できるか？

主な発見

• 非可換量子力学における位置測定のみでは、スター積による位置微分のすべての次数にわたる非局所的依存性のおかげで、量子状態を完全に再構成できない。
• 複数の同等な局所的記述が存在し、それぞれが隠れた構造を明示する追加自由度を導入している。
• 一つの局所的記述は、強い磁場下でのスシンクの二電荷調和系に同等な、拡張された構造的物体の古典的像を自然に導く。
• 第二の局所的記述は、位置まわりに固定された角運動量を有する点粒子を記述し、量子的対象が点的でないことを強化する。
• 追加自由度は、ゲージ不変な形式においてゲージ自由度として解釈可能である。
• これらの記述の等価性は、追加構造が物理的に必要不可欠であり、単なる数学的アーティファクトではないことを確認している。