[論文レビュー] Additive Chow groups of schemes

Amalendu Krishna, Marc Levine|ArXiv.org|Feb 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、体上の滑らかで射影的多様体に対して、Blochの高次チャウ群上に加法的高次チャウ群のモジュール構造を確立し、射影バンドル公式と吹き抜き公式を可能にする。この理論を、Guillién-Navarro Aznarの手法を用いて、任意の有限型スキームに対して無限遠で対数特異点をもつボレル＝ムーア理論へ拡張する。特により、特徴標数0における1次サイクルの加法的チャウ群からケーラー微分形式へのレジスターマップの上への性質を証明する。

ABSTRACT

We show how to make the additive Chow groups of Bloch-Esnault, Ruelling and Park into a graded module for Bloch's higher Chow groups, in the case of a smooth projective variety over a field. This yields a a projective bundle formula as well as a blow-up formula for the additive Chow groups of a smooth projective variety. In case the base-field admits resolution of singularieties, these properties allow us to apply the technique of Guille'n and Navarro Aznar to define the additive Chow groups "with log poles at infinity" for an arbitrary finite-type k-scheme X. This theory has the usual properties of a Borel-Moore theory on finite type k-schemes: it is covariantly functorial for projective morphisms, contravariantly functorial for morphisms of smooth schemes, and has a projective bundle formula, homotopy property, Mayer-Vietoris and localization sequences. Finally, we show that the regulator map defined by Park from the additive Chow groups of 1-cycles to the modules of absolute Kaehler differentials of an algebraically closed field of characteristic zero is surjective, giving an evidence of conjectured isomorphism between these two groups.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的多様体のチャウ環上に加法的チャウ群のモジュール構造を構成すること。
• 任意の有限型スキームに対して、無限遠で対数特異点をもつボレル＝ムーア理論に加法的チャウ群を拡張すること。
• 拡張された理論に対して、射影バンドル公式、ホモトピー不変性、およびメイヤー＝ビエトリス系列といった基礎的性質を確立すること。
• 特徴標数0における1次サイクルの加法的チャウ群から絶対ケーラー微分形式のモジュールへのレジスターマップの上への性質を証明すること。
• レジスターマップを通じて、加法的チャウ群とド・ラーム＝ウィット複体の間の予想される同型を裏付ける証拠を提供すること。

提案手法

• 外部積構造とカップ積を用いて、滑らかで射影的多様体に対してBlochの高次チャウ群が加法的チャウ群に作用するモジュール作用を構成する。
• 特異点の解消を用いて、Guillién-Navarro Aznarの手法を応用し、有限型スキーム上で加法的チャウ群をボレル＝ムーア理論へ拡張する。
• 拡張された理論において、滑らかで準射影的多様体の間の準同型に対して、引き戻し（ギジン）写像を導入する。
• 対応の作用と射影バンドル公式を用いて、拡張された理論の構造的性質を導出する。
• Nesterenko-Suslin-Totaroの同型と写像 η: k ⊗ K₀^M(k) → Ω^*ₖ を用いて、加法的チャウ群とケーラー微分形式との関係を確立する。
• 動きの補題と局所化技術を用いて、拡張された理論におけるファンクター性および完全列の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的多様体に対して、加法的高次チャウ群はそのチャウ環上にモジュール構造をもたせられるか？
• RQ2 無限遠で対数特異点をもつ加法的チャウ群の拡張理論は、有限型スキーム上でボレル＝ムーアホモロジー理論の公理を満たすか？
• RQ3 特徴標数0における1次サイクルの加法的チャウ群から絶対ケーラー微分形式のモジュールへのレジスターマップは上への性質をもつか？
• RQ4 K理論のアティヤ＝ヒルツブルグスペクトル系列を、モジュラスおよび対数特異点を含む形に一般化できるか？
• RQ5 モジュラスが存在する状況において、加法的チャウ群とド・ラーム＝ウィット複体の関係はいかなるものか？

主な発見

• 滑らかで射影的多様体の加法的チャウ群は、そのチャウ環上にモジュール構造をもつ。これにより、射影バンドル公式と吹き抜き公式が可能になる。
• 特異点の解消が可能である体に対して、すべての有限型スキームに対して無限遠で対数特異点をもつ加法的チャウ群が定義され、すべての標準的ボレル＝ムーア性質を満たす。
• 代数的に閉じた体の特徴標数0において、1次サイクルの加法的チャウ群から Ω¹ₖ へのレジスターマップは上への性質をもつ。
• 合成 R^{n+3}_{1,m} ∘ μ は、CH^n(k,n) ⊗ TCH^2(k,3;m) 上で (−1)^n ⋅ η ∘ S^{n}_{1,m} に等しく、ケーラー微分形式との重要な整合性を示す。
• 代数的に閉じた体の場合、R^3_{1,m}(Γ) ≠ 0 であることは、1次元でレジスターマップが上への性質をもつことを示唆する。
• 理論は、モジュラスおよび対数特異点を含む、予想されるアティヤ＝ヒルツブルグスペクトル系列を支持しており、古典的枠組みを拡張する。