[論文レビュー] Additive colorings of planar graphs

Tomasz Bartnicki, Bartłomiej Bosek+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意の平面的グラフが、最大468個の異なる正の整数を用いて加法的彩色可能であることを確立している。これは、以前の上限値5544を改善したものである。証明は、組合せ的ノルンシュタインの定理と平面的超グラフの彩色番号を用い、3色可能な平面的グラフおよび閉路長が13以上である平面的グラフについては、それぞれ36および4というより鋭い上限を得た。

ABSTRACT

An \emph{additive coloring} of a graph $G$ is an assignment of positive integers $\{1,2,...,k\}$ to the vertices of $G$ such that for every two adjacent vertices the sums of numbers assigned to their neighbors are different. The minimum number $k$ for which there exists an additive coloring of $G$ is denoted by $η(G)$. We prove that $η(G)\leqslant 468$ for every planar graph $G$. This improves a previous bound $η(G)\leqslant 5544$ due to Norin. The proof uses Combinatorial Nullstellensatz and coloring number of planar hypergrahs. We also demonstrate that $η(G)\leqslant 36$ for 3-colorable planar graphs, and $η(G)\leqslant 4$ for every planar graph of girth at least 13. In a group theoretic version of the problem we show that for each $r\geqslant 2$ there is an $r$-chromatic graph $G_{r}$ with no additive coloring by elements of any Abelian group of order $r$.

研究の動機と目的

• 平面的グラフの加法的彩色数η(G)の上界を改善すること。
• 彩色数や閉路長といった構造的制約がη(G)に与える影響を調査し、より鋭い上限を得ること。
• 有限アーベル群上での加法的彩色の存在を検討すること。
• 有限群上での加法的彩色を決定する計算の複雑さを調べること。
• η(G)とχ(G)（彩色数）の関係に関する予想を検証すること。

提案手法

• 群値割り当てを用いて加法的彩色を構成するため、組合せ的ノルンシュタインの定理を適用する。
• 二部平面的グラフから導かれる平面的超グラフの彩色番号を用いて、頂点彩色における依存関係を制御する。
• 後方隣接頂点の制約に基づくグリーディな頂点順序付けを用いて、群の元を割り当てる。
• 隣接頂点の和関数に衝突が生じないよう、互いに素な群のサイズを持つ彩色に問題を還元する。
• 分解定理を用いて、特殊クラス（例：閉路長≥13）に対して明示的な彩色を構成する。
• グラフ彩色問題への還元により、サイズが3以上のアーベル群上での加法的彩色がNP完全であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的グラフの加法的彩色数η(G)は、頂点数に依存せずに有界にできるか？ もし可能であれば、その最良の上限は何か？
• RQ2 すべての3色可能な平面的グラフは、最大36個のラベルで加法的彩色可能か？
• RQ3 任意のr彩色可能なグラフに対して、加法的彩色をサポートするサイズχ(G)+1の有限アーベル群が存在するか？
• RQ4 与えられた有限アーベル群上での加法的彩色が存在するかどうかを決定する問題の計算複雑度は何か？
• RQ5 閉路長が13以上のすべての平面的グラフは、η(G)≤4を満たすか？

主な発見

• 任意の平面的グラフGに対して、加法的彩色数η(G)は468以下である。
• 3色可能な平面的グラフに対しては、η(G)≤36である。
• 閉路長が13以上の平面的グラフに対しては、η(G)≤4である。
• 任意のアーベル群のサイズがrであるような、加法的彩色をもたないr彩色可能なグラフGrが存在する。
• サイズが3以上の有限アーベル群上での加法的彩色を決定する問題はNP完全である。
• Z₂上での加法的彩色は多項式時間で解けるが、群のサイズが3以上になるとNP完全になる。