[論文レビュー] Additive Complexity and the Roots of Polynomials Over Number Fields and p-adic Fields

J. Maurice Rojas|ArXiv.org|Jan 16, 2002

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、入力サイズの測度として加法的複雑度を用いて、数体およびp進体上の1変数多項式の幾何的に孤立した根の数に対する新たな上界を確立する。多項式の有理根の数は、$15 + \sigma(f)^2(24.01)^{\sigma(f)}\sigma(f)!$ 以下であることが示され、従来の加法的複雑度に基づく上界を著しく改善し、多変数系および有限拡大への応用を含む。

ABSTRACT

Consider any nonzero univariate polynomial with rational coefficients, presented as an elementary algebraic expression (using only integer exponents). Letting sigma(f) denotes the additive complexity of f, we show that the number of rational roots of f is no more than 15 + sigma(f)^2 (24.01)^{sigma(f)} sigma(f)!. This provides a sharper arithmetic analogue of earlier results of Dima Grigoriev and Jean-Jacques Risler, which gave a bound of C^{sigma(f)^2} for the number of real roots of f, for some constant C with 1

研究の動機と目的

• 数体およびp進体上の多項式に対して、少数項理論の効果的算術的類似を構築すること。
• 加法的複雑度を複雑度測度として用いて、1変数および多変数多項式系の幾何的に孤立した根の数を上界で制御すること。
• レンストラおよびグリゴリエフ＝リスラーの既存の上界を、単項式展開よりも効率的な符号化に拡張すること。
• 次数や係数の大きさに依存しない、加法的複雑度のみに依存する根数の定量的上界を提供すること。

提案手法

• 多項式 $f$ を体 $\mathcal{L}$ 上でネストされた代数的表現を用いて表現するのに必要な加法および乗法の最小回数として、加法的複雑度 $\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ を定義する。
• 各変数 $X_i$ を以前の変数の積の線形結合として構成する中間変数 $X_i$ を用いた再帰的多項式表現の構築を行う。
• p進体および数体における根数を上界づけるために、コファンスキーの少数項定理の算術的類似を適用する。
• 多変数根数の計数問題を、$s = \sigma_{\mathcal{L}}(F)$ とすると $n+s$ 変数の変換された系における孤立根の数の計数に還元する。
• 各 $i$ に対して $\varepsilon_i X_{n+i} = \text{線形結合の積}$ を満たす系に対して、再帰的計数戦略を用いて孤立根を列挙する。
• $B(\mathcal{L}, m, N)$ および $A(\mathcal{L}, \delta, m, N)$ の境界を用いて、$\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ の関数として明示的な根数上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進体または数体上の1変数多項式の幾何的に孤立した根の数は、加法的複雑度のみで上界づけられるか。
• RQ2 加法的複雑度は、$\mathbb{R}$ 上の少数項理論に類似した算術的設定における根数とどのように関係するか。
• RQ3 加法的複雑度に関して、有理根数の最もタイトな上界は何か。また、それらは従来の上界と比較してどう異なるか。
• RQ4 これらの上界は、多変数多項式系および $\mathbb{Q}_p$ や $\mathbb{Q}$ の有限拡大へ拡張可能か。

主な発見

• 有理係数の非ゼロ1変数多項式 $f$ の有理根の数は、$15 + \sigma(f)^2(24.01)^{\sigma(f)}\sigma(f)!$ 以下であり、実数上の少数項境界の鋭い算術的類似を提供する。
• 任意の次数 $d$ の $\mathbb{Q}_p$ の拡大 $\mathcal{L}$ に対して、$\mathcal{L}$ 内の根の数は $2^{O(\sigma_{\mathcal{L}}(f) \log(p^d \sigma_{\mathcal{L}}(f)))}$ 以下であり、$p$、$d$、$\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ を含む明示的な式が得られる。
• $\mathcal{L} = \mathbb{Q}_2$ の場合、$\sigma_{\mathcal{L}}(f)$ がそれぞれ $0$、$1$、$2$、$3$、$4$ のとき、根の上界は $1$、$3$、$35$、$50195$、$6471489$ である。
• 結果は多変数系へ拡張可能である。$\mathcal{L}^{n+s}$ 内の幾何的に孤立した根の数は、二項係数の和および $B(\mathcal{L}, m, N)$ における再帰的上界を含む形で上界づけられる。
• 根の次数が有界な数体上の根に対しても上界が成り立ち、この手法は多変数デカルトの法則類似を備えた任意の体に適用可能である。
• 証明により、$B(\mathcal{L}, m, N)$ および $A(\mathcal{L}, \delta, m, N)$ の境界を改善することで、より鋭い上界を得られることを示しており、今後の改善の道筋が示唆される。