[論文レビュー] Additive continuity of the renormalized volume under geometric limits

Franco Vargas Pallete|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、幾何的極限下での強制的連続性を、凸ココンパクトな双曲的3次元多様体の正規化体積に対して確立し、正規化体積の下界が、完全に測地的凸コアをもつフクシアンまたはアサイルドラティカル成分からなる幾何的極限である場合にのみ達成されることを証明する。主な結果は、極限多様体の正規化体積がその成分の正規化体積の和に等しいことを示しており、連続性の結果を一般化し、下界に収束する列を特徴づけている。

ABSTRACT

We study the infimum of the renormalized volume for convex-cocompact hyperbolic manifolds, as well as describing how a sequence converging to such values behaves. In particular, we show that the renormalized volume is continuous under the appropriate notion of limit. This result generalizes previous work in the subject.

研究の動機と目的

• 不圧縮境界をもつ凸ココンパクトな双曲的3次元多様体の正規化体積の下界を特徴づけること。
• そのような多様体の列が下界値に収束する際の挙動を記述すること。
• 正規化体積が連続となる適切な幾何的収束の概念——加法的幾何的収束——を定義すること。
• 下界に収束する任意の列が、凸コアが完全に測地的である、すなわち正規化体積の臨界点である多様体に収束しなければならないことを証明すること。

提案手法

• 有界な凸コア体積をもつ凸ココンパクトな双曲的多様体の列の極限を記述するための加法的幾何的収束の概念を導入する。
• ディリクレ基本多面体と球面に関する一般性を用いて幾何的極限を分析する。
• ドンフィリングの議論とエプスタイン曲面の構成を用い、正規化体積とグロモフノルムの関係を $ V_R(N_i) = \frac{v_3}{2}\|DN_i\| $ という式で関係づける。
• クライン＝マスキット結合と一般化された双曲的ドンフィリングを用いて、極限成分に収束する列を構成する。
• [GMR]の古典的連続性の議論を、新しい収束概念に適応して、極限の正規化体積が成分の体積の和に等しいことを証明する。
• すべての成分を統合し、下界が達成されるのは、極限多様体の凸コアが完全に測地的である場合に限ることを示し、正規化体積の臨界点を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不圧縮境界をもつ凸ココンパクトな双曲的3次元多様体の正規化体積の下界値は何か？
• RQ2 そのような多様体の列が正規化体積の下界に近づく際、どのように振る舞うか？
• RQ3 正規化体積が連続となる適切な幾何的収束の概念は何か？
• RQ4 最小化列の極限が正規化体積の臨界点であるための条件は何か？
• RQ5 極限多様体の正規化体積は、その成分の体積の和として加法的に表せるか？

主な発見

• 不圧縮境界をもつ凸ココンパクトな双曲的3次元多様体の正規化体積の下界は、幾何的極限の凸コアが完全に測地的である場合にのみ達成される。
• 正規化体積の下界に収束する任意の凸ココンパクトな双曲的3次元多様体の列は、凸コアが完全に測地的である多様体に幾何的に収束しなければならない。
• 新しい加法的幾何的収束の概念のもとで、正規化体積は加法的である：極限体積は成分多様体の体積の和に等しい。
• クェーシィフクシアン多様体では、正規化体積は非負であり、かつそれがゼロであることは、多様体がフクシアンであることに同値である。
• アサイルドラティカルな場合、任意の最小化列は、完全に測地的凸コアをもつ一意なフクシアン計量に幾何的に収束する。
• 極限成分は、アサイルドラティカル部分から来る有限体積の双曲的多様体、またはフクシアン部分から来るセイフェルト被覆多様体であり、体積寄与は $ V_R(N_i) = \frac{v_3}{2}\|DN_i\| $ を通じてグロモフノルムに関係している。