[論文レビュー] Additive energy forward curves in a Heath-Jarrow-Morton framework

Fred Espen Benth, Marco Piccirilli+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、加法的かつ平均回帰的ダイナミクスを用いてフォワード価格およびスワップ価格をモデル化する、多商品エネルギー・フォワード市場のHeath-Jarrow-Morton (HJM) フレームワークを開発する。一般化された測度変更（エッシャー型密度と確率的Girsanovカーネルを含む）を用いた際の確率的指数のマルティンググール性を満たす必要十分条件を確立し、アービタージュフリーな価格設定と、クロスコンmodityの共統合性および一般化されたLucia-Schwartzダイナミクスの明示的モデル化を可能にする。

ABSTRACT

One of the peculiarities of power and gas markets is the delivery mechanism of forward contracts. The seller of a futures contract commits to deliver, say, power, over a certain period, while the classical forward is a financial agreement settled on a maturity date. Our purpose is to design a Heath-Jarrow-Morton framework for an additive, mean-reverting, multicommodity market consisting of forward contracts of any delivery period. The main assumption is that forward prices can be represented as affine functions of a universal source of randomness. This allows us to completely characterize the models which prevent arbitrage opportunities: this boils down to finding a density between a risk-neutral measure $\mathbb{Q}$, such that the prices of traded assets like forward contracts are true $\mathbb{Q}$-martingales, and the real world probability measure $\mathbb{P}$, under which forward prices are mean-reverting. The Girsanov kernel for such a transformation turns out to be stochastic and unbounded in the diffusion part, while in the jump part the Girsanov kernel must be deterministic and bounded: thus, in this respect, we prove two results on the martingale property of stochastic exponentials. The first allows to validate measure changes made of two components: an Esscher-type density and a Girsanov transform with stochastic and unbounded kernel. The second uses a different approach and works for the case of continuous density. We apply this framework to two models: a generalized Lucia-Schwartz model and a cross-commodity cointegrated market.

研究の動機と目的

• 加法的かつ平均回帰的ダイナミクスを有する多商品エネルギー・フォワードおよびスワップ市場に対して、取り扱いやすく、アービタージュフリーなHeath-Jarrow-Mortonフレームワークを構築すること。
• フォワード価格がマルティンググールであるリスクニュートラル測度ℚへの移行の課題を解決すること。これは、実世界測度𝕄において平均回帰的であるにもかかわらず、成り立つ。
• フォワード・コンテナクトと、電力やガスのようなデリバリー期間スワップ（例：スワップ）を同時に扱える統一的モデルを提供すること。この際、マルコフ性や分布の取り扱いの簡便性を損なわないようにすること。
• Lucia-Schwartzモデルなどの既存モデルを一般化し、多商品および共統合的状況にまで拡張すること。
• 確率的指数が、エッシャー型成分とGirsanov成分を含む複雑で有界でない測度変更のもとでマルティンググールの性質を保つための厳密な条件を確立すること。

提案手法

• 実世界測度𝕄における一様なランダム要因に線形依存するフォワード価格およびスワップ価格をモデル化し、平均回帰性と取り扱いやすさを保証する。
• 二段階の測度変更を適用する：エッシャー型密度と、確率的かつ有界でないカーネルを有するGirsanov変換を用いてリスクニュートラル測度ℚを定義する。
• 系列表現とモーメントバウンドを用いて、弱いノヴィコフ型条件を通じて確率的指数のマルティンググール性の条件を導出する。
• Gronwallの補題と伊藤等長性を用いて、状態過程の2次モーメントを制御し、ℚ下での可積分性を保証する。
• 時間に依存するパラメータを有する加法的ダイナミクスへの拡張を通じて、一般化されたLucia-Schwartzモデルを構築する。
• 相互市場のパラメータ制約を課すことにより、共統合的多商品モデルを構築し、アービタージュフリー性と平均回帰性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッシャー型密度と、確率的かつ有界でないGirsanovカーネルを含む測度変更のもとで、有界でない確率的Girsanovカーネルを持つ過程の確率的指数が、真のマルティンググールであるための条件は何か？
• RQ2 加法的かつ平均回帰的フォワードカーブを扱うHeath-Jarrow-Mortonフレームワークを、同時にフォワード・コンテナクトとデリバリー期間スワップを扱える形にどのように構築できるか？
• RQ3 フォワード価格がℚ-マルティンググールでありつつ、実世界測度𝕄においても平均回帰的であるようなリスクニュートラル測度ℚの存在に必要な十分条件は何か？
• RQ4 電力やガスのような異なる商品間で共統合性とアービタージュフリー関係を保ちつつ、多商品エネルギー市場モデルをどのように設計できるか？
• RQ5 一般化されたLucia-Schwartzモデルは、取り扱いやすさとアービタージュの不在を保証する、厳密なHJMフレームワークに埋め込むことができるか？

主な発見

• 本稿は、エッシャー型密度と、確率的かつ有界でないGirsanovカーネルを含む測度変更のもとで、確率的指数のマルティンググール性を満たす弱いノヴィコフ型条件が十分であることを証明する。
• 確率的指数のマルティンググール性が成り立つのは、時間区間の列が存在し、その各区間において、ボラティリティ過程の二乗積分の指数モーメントが有限である場合に限る。
• 本モデルフレームワークにより、共通要因に線形依存する加法的かつ平均回帰的プロセスに基づく、アービタージュフリーなフォワード価格およびスワップ価格ダイナミクスの明示的構築が可能になる。
• 一般化されたLucia-Schwartzモデルは、提案されたHJMフレームワークの特別な場合として回復され、多商品およびデリバリー期間設定への適用範囲が拡張される。
• パラメータ制約を課すことにより、長期的均衡関係を市場間で維持しつつ、アービタージュフリー性と平均回帰性を保つ共統合的多商品モデルが構築される。
• 証明技法は、Gronwallの補題とガウス型モーメント推定を用いたモーメントバウンドに依拠し、指数の級数表現の可積分性と収束性を保証する。