[論文レビュー] Additive maps preserving the reduced minimum modulus of Banach space operators

Abdellatif Bourhim|ArXiv.org|Oct 1, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、無限次元複素バナッハ空間上の有界線形作用素代数上の加法的かつ全単射な写像が、縮小最小モジュラスを保存するものとして特徴づける。このような写像は、$U$ と $V$ がともに線形またはともに共役線形な双対等長写像であるとき、$\varphi(T) = UTV$ または $\varphi(T) = UT^*V$ の形をとることを証明する。これは、$\varphi(\mathbf{1})$ が可逆であるという仮定を不要にすることで、先行研究を拡張したものである。

ABSTRACT

Let ${\mathcal B}(X)$ be the algebra of all bounded linear operators on an infinite dimensional complex Banach space $X$. We prove that an additive surjective map $ϕ$ on ${\mathcal B}(X)$ preserves the reduced minimum modulus if and only if either there are bijective isometries $U:X o X$ and $V:X o X$ both linear or both conjugate linear such that $ϕ(T)=UTV$ for all $T\in{\mathcal B}(X)$, or $X$ is reflexive and there are bijective isometries $U:X^* o X$ and $V:X o X^*$ both linear or both conjugate linear such that $ϕ(T)=UT^*V$ for all $T\in{\mathcal B}(X)$. As immediate consequences of the ingredients used in the proof of this result, we get the complete description of surjective additive maps preserving the minimum, the surjectivity and the maximum moduli of Banach space operators.

研究の動機と目的

• 無限次元複素バナッハ空間に対して、$\mathcal{B}(X)$ 上の加法的かつ全単射写像が縮小最小モジュラスを保存するものとして特徴づけること。
• 先行研究における線形保存写像の結果を拡張し、$\varphi(\mathbf{1})$ が可逆であるという仮定を排除すること。
• バナッハ空間作用素の最小モジュラス、全射性モジュラス、最大モジュラスの保存写像に関する結果を統合・一般化すること。
• カジミールの定理やヘーシュティンの定理のような深い結果を避け、自己完結的な証明を提供すること。

提案手法

• 縮小最小モジュラス $\gamma(T)$ を、$\text{dist}(x, \ker T) \geq 1$ を満たす $x$ に対する $\|Tx\|$ の下界として定義し、$T=0$ のときは $\infty$ とする。
• 範囲が閉じていることと $\gamma(T) > 0$ が同値であることを利用して、$\gamma$ を保存する写像の構造を分析する。
• 加法的かつ全単射な写像が、範囲が閉じた作用素の集合と、範囲が稠密な作用素の集合を保存することを確立する。
• このような写像がランク1作用素およびその値域を保存することを示し、双対等長写像による表現に導く。
• 有界作用素の空間の構造と等長双対性を用いて、$\varphi(T) = UTV$ または $\varphi(T) = UT^*V$ となることを示す。ここで $U, V$ は双対等長写像である。
• 双対性と強収縮性を用いて、2つの場合を区別する：標準的等長写像と、随伴を含む双対型写像。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的かつ全単射な写像 $\varphi$ が $\mathcal{B}(X)$ 上で縮小最小モジュラスを保存するための完全な特徴づけは何か？
• RQ2 縮小最小モジュラス保存写像に関する先行結果で、$\varphi(\mathbf{1})$ が可逆であるという条件を排除することは可能か？
• RQ3 加法的保存写像としての縮小最小モジュラスは、最小モジュラス、全射性モジュラス、最大モジュラスを保存するものとどのように関係するか？
• RQ4 双対型写像 $\varphi(T) = UT^*V$ は、保存写像の構造においてどのような条件下で生じるか？
• RQ5 これらの結果は、ヒルバート空間から一般のバナッハ空間へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 加法的かつ全単射な写像 $\varphi$ が $\mathcal{B}(X)$ 上で縮小最小モジュラスを保存するための必要十分条件は、$\varphi(T) = UTV$ となることであり、ここで $U, V$ はともに線形またはともに共役線形な双対等長写像である。
• もし $X$ が強収縮的であれば、追加の可能性として $\varphi(T) = UT^*V$ が生じる。ここで $U: X^* \to X$, $V: X \to X^*$ は、ともに線形またはともに共役線形な双対等長写像である。
• $\varphi(\mathbf{1})$ が可逆であるという条件は不要であり、これによりスキーリらの先行研究が一般化・改善された。
• 同じ構造的形は最小モジュラスと全射性モジュラスを保存するが、$X$ や $Y$ が非強収縮的であれば、双対型形 $UT^*V$ は除外される。
• 最大モジュラスは、$X$ と $Y$ が強収縮的である場合に限り、標準的等長形 $UTV$ のみが保存する。双対型形は最大モジュラスを保存しない。
• 結果は一般化スペクトルへ拡張され、スペクトル圧縮または分解が成立する場合、標準的等長形式または双対等長形式に帰着される。