[論文レビュー] Additive Models for Symmetric Positive-Definite Matrices, Riemannian Manifolds and Lie groups

Zhenhua Lin, Hans‐Georg Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2020

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称正定値（SPD）行列応答変数に対する、リーマン多様体構造を用いた新たな加法的回帰モデルを提案する。具体的には、非線形なSPD空間を線形接空間に変換するために、ロジシャン・チョレスキーおよびロジシャン・オルソゴナル距離を活用する。この手法により、滑らかさを考慮したバックフィットティングを用いた効率的な推定が可能となり、成分関数推定における最適収束速度 $O_P(n^{-4/5})$ を達成し、漸近正規性が確立される。これは、高次元予測子設定において、完全非パラメトリック手法よりも顕著に性能が向上する。

ABSTRACT

In this paper an additive regression model for a symmetric positive-definite matrix valued response and multiple scalar predictors is proposed. The model exploits the abelian group structure inherited from either the Log-Cholesky metric or the Log-Euclidean framework that turns the space of symmetric positive-definite matrices into a Riemannian manifold and further a bi-invariant Lie group. The additive model for responses in the space of symmetric positive-definite matrices with either of these metrics is shown to connect to an additive model on a tangent space. This connection not only entails an efficient algorithm to estimate the component functions but also allows to generalize the proposed additive model to general Riemannian manifolds that might not have a Lie group structure. Optimal asymptotic convergence rates and normality of the estimated component functions are also established. Numerical studies show that the proposed model enjoys superior numerical performance, especially when there are multiple predictors. The practical merits of the proposed model are demonstrated by analyzing diffusion tensor brain imaging data.

研究の動機と目的

• 高次元予測子設定における対称正定値（SPD）行列応答変数に対する加法的回帰モデルの欠如を解決すること。
• SPDデータに対する局所多項式回帰などの完全非パラメトリック手法に内在する次元の呪いを克服すること。
• リーマン幾何学を用いて、SPD値をとる加法的モデルと接空間上の加法的モデルを理論的に結びつける枠組みを確立すること。
• 群構造と計量構造を活用することで、リー群に限らないより広範なリーマン多様体へ本手法を一般化すること。
• アルツハイマー病神経画像研究計画（ADNI）の拡散テンソル画像（DTI）データを用いた応用を通じて、実用的有用性を示すこと、特に神経科学分野における応用を想定する。

提案手法

• 本モデルは、ロジシャン・チョレスキーまたはロジシャン・オルソゴナル距離を用いて、SPD多様体をアーベル群および双不変リー群構造を有するリーマン多様体に写像する。
• 対数写像を用いてSPD値をとる応答変数を平均行列における接空間に変換し、線形空間における加法的モデリングを可能にする。
• 変換された接空間応答に対して、識別可能性を保証する制約のもとで、滑らかさを考慮したバックフィットティングを用いて加法的成分関数を推定する。
• 平行移動を用いて推定関数を元の多様体に再び写像し、幾何的整合性を保持する。
• ヒルバート空間値をとる加法的モデルの枠組み（JeonとPark, 2020）を、リーマン多様体の接空間に適応したものである。
• 関数中心極限定理を用いた漸近理論を構築し、設計および誤差構造に関する正則性条件の下で収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元予測子設定において、次元の呪いを回避しつつ、加法的回帰を対称正定値行列応答変数に効果的に拡張できるか？
• RQ2 SPD多様体の幾何的構造（特にリーマン的およびリー群的性質）をどのように活用すれば、効率的かつ非パラメトリックな推定が可能になるか？
• RQ3 この設定における推定成分関数の最適収束速度および漸近分布的性質は何か？
• RQ4 本手法は、リー群構造を欠く一般のリーマン多様体へも拡張可能か？
• RQ5 実世界の神経画像データにおける既存の非パラメトリック回帰手法と比較して、本モデルの実用的性能はいかがなものか？

主な発見

• 提案された加法的モデルは、ロジシャン・チョレスキーまたはロジシャン・オルソゴナル距離を用いる場合、成分関数推定において最適収束速度 $O_P(n^{-4/5})$ を達成する。
• 推定成分関数の漸近正規性が保証され、適切なバンド幅スケーリングのもとで、関数の同時分布が正規分布に収束する。
• 特に複数の予測子が存在する高次元予測子設定において、完全非パラメトリック回帰を上回る性能を発揮する。
• 対数写像による接空間への変換により、滑らかさを考慮したバックフィットティングが効率的に行えるようになり、計算複雑性が低減され、数値的安定性が向上する。
• 接空間との接続を活用することで、リー群構造を欠く一般のリーマン多様体に対しても理論的保証を拡張可能である。
• 数値的実験およびアルツハイマー病神経画像研究計画（ADNI）のDTIデータへの応用により、優れた性能と神経科学分野における実用的関連性が確認された。