[論文レビュー] Additivity and Double Coset formulae for the Motivic and Étale Becker-Gottlieb transfer

Roy Joshua⋆, Pablo Pelaez|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全体上の代数的幾何における文脈において、モチビックおよびエタール・ベイカー＝ゴットリーブ転送とその関連するトレースの加法性を確立し、モチビックホモトピー理論における新しい応用を可能にする基礎的性質を証明する。また、分離的閉体上の中への再帰的群作用に関するホモogeneous空間のブローバー群への応用を含め、G/N(T) のオイラー特徴量に関する長年の予想をグローテンディーク＝ウット環において解消する。さらに、古典的二重コセット公式の類似を導出し、それにより新たな応用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, which is a continuation of earlier work by the first author and Gunnar Carlsson, one of the first results we establish is the additivity of the motivic Becker-Gottlieb transfer, as well as their étale realizations. This extends the additivity results the authors already established for the corresponding traces. We then apply this to derive several important consequences: for example, in addition to obtaining the analogues of various double coset formulae known in the classical setting of algebraic topology, we also obtain applications to Brauer groups of homogeneous spaces associated to reductive groups over separably closed fields. We also consider the relationship between the transfer on schemes provided with a compatible action by a $1$-parameter subgroup and the transfer associated to the fixed point scheme of the $1$-parameter subgroup.

研究の動機と目的

• 完全体上での代数的幾何の文脈において、モチビックおよびエタール・ベイカー＝ゴットリーブ転送とその関連するトレースの加法性を確立すること。
• ス latter 再帰的代数群 G とその最大トーラス正規化群 N(T) に対して、G/N(T) のオイラー特徴量がグローテンディーク＝ウット環において 1 に等しいという予想を解消すること。
• 再帰的群作用の文脈において、古典的二重コセット公式の類似をモチビックおよびエタール設定で導出すること。
• 1パラメータ部分群作用を持つスキーム上の転送と、その固定点スキーム上の転送との関係を調査すること。
• これらの結果を用いて、分離的閉体上の中の再帰的群に関連するホモogeneous空間のブローバー群を計算すること。

提案手法

• G-可換スペクトラと非可換スペクトラを用い、前転送写像とボレル構成の変形を介して、モチビックおよびエタール・ベイカー＝ゴットリーブ転送を定義する。
• CJ19 の枠組みを適用し、Σ_T やその局域化・完備化を含むモチビック環スペクトラを可換スペクトラに持ち上げる。
• トレース写像の構成を用いて、転送を一般化された可換モチビックコホモロジー理論と関連付ける。
• 群の包含写像における転送写像の合成を分析し、分類空間上のフィルトレーション議論を用いて二重コセット公式を導出する。
• トレースおよび転送の加法性を応用し、スペクトル系列と余極限の議論を用いて、グローテンディーク＝ウット環における G/N(T) のオイラー特徴量を計算する。
• 射 f_{n-j,j} とそれらの分類空間の包含写像との合成が、切断された分類空間のウェッジ和における j 番目の成分への射影を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特徴を持つ完全体上でのモチビックおよびエタール設定において、モチビック・ベイカー＝ゴットリーブ転送は加法的か？
• RQ2 ス latter 再帰的代数群 G とその最大トーラス正規化群 N(T) に対して、G/N(T) のオイラー特徴量はグローテンディーク＝ウット環において 1 に等しいか？
• RQ3 古典的代数トポロジーにおける転送の二重コセット公式は、モチビックおよびエタール文脈へ一般化可能か？
• RQ4 1パラメータ部分群作用を持つスキーム上の転送と、固定点スキーム上の転送との関係は何か？
• RQ5 転送およびトレースの加法性は、分離的閉体上の中の再帰的群に関連するホモogeneous空間のブローバー群にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 完全体上の安定モチビックホモトピー圏において、モチビックおよびエタール・ベイカー＝ゴットリーブ転送は加法的であり、その関連するトレースに対しても同様である。
• ス latter 再帰的代数群 G とその最大トーラスの正規化群 N(T) に対して、G/N(T) のオイラー特徴量はグローテンディーク＝ウット環において 1 に等しいことが証明された。
• 古典的二重コセット公式の類似が、モチビックおよびエタール設定において確立され、古典的代数トポロジーからの結果が拡張された。
• 射 f_{n-j,j} と BGL_j から BGL_n への包含写像との合成は、切断された分類空間のウェッジ和における j 番目の成分への射影を誘導する。
• 写像 Π_{0≤j≤n} f_{n-j,j} : Σ_T BGL_{n,+} → ⋁_{0≤j≤n} Σ_T BGL_{j,+} は弱同値であり、モチビックスペクトラのフィルトレーション構造が確認された。
• これらの結果はホモトピー余極限を用いて無限大の場合へ拡張可能であり、エタール版は同様の推論により得られ、両設定において証明が完成した。