[論文レビュー] Additivity numbers of covering properties

Boaz Tsaban|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 26被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、可分で、距離化可能で、0次元な空間における位相的被覆性質の加法的数（additivity numbers）を調査している。特に、Menger、Hurewicz、Rothbergerなどの選択原則に注目している。Baire空間（無理数と位相同型）上で組合せ論的技法を用い、$ abla$, $ abla$, $ abla$, $ abla$ といった既知の基数不変量を用いて、加法的数の正確な値または上限を特定し、いくつかの未解決問題を解決するとともに、新たな一貫性結果を確立している。

ABSTRACT

The_additivity_number_ of a topological property (relative to a given space) is the minimal number of subspaces with this property whose union does not have the property. The most well-known case is where this number is greater than Aleph_0, i.e. the property is sigma-additive. We give a rather complete survey of the known results about the additivity numbers of a variety of topological covering properties, including those appearing in the Scheepers diagram (which contains, among others, the classical properties of Menger, Hurewicz, Rothberger, and Gerlits-Nagy). Some of the results proved here were not published beforehand, and many open problems are posed.

研究の動機と目的

• 可分で、距離化可能で、0次元な空間におけるさまざまな位相的被覆性質の正確な加法的数を特定すること。
• Baire空間（無理数と位相同型）上で組合せ論的技法を適用し、選択原則の加法的挙動を分析すること。
• $ abla$-加法的および$ abla$-加法的に関する未解決問題を解決すること。具体的には、${ abla}_{1}( abla, abla)$、${ abla}_{ abla}( abla, abla)$、および${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ などの性質に関して。
• 基数不変量 $ abla$, $ abla$, $ abla$, $ abla$ を用いて加法的数の上限および一貫性結果を確立すること。
• ${ abla}_{1}( abla, abla)$、${ abla}_{ abla}( abla, abla)$、および${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ などの性質の証明可能または一貫した加法的性を調査すること。

提案手法

• 論文は、一般の可分で、距離化可能で、0次元な空間の解析を、Baire空間 $ abla\setminus\nabla$ に還元しており、これは無理数と位相同型であることを利用している。
• 被覆性質を、被覆の列とその選択を用いて特徴付けるために、選択原則 ${ abla}_{1}( abla, abla)$、${ abla}_{ abla}( abla, abla)$、および ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ を用いている。
• 加法的数は、その性質を持つ部分空間の族の和集合がその性質を持たない最小の族の大きさとして定義され、$ abla$, $ abla$, $ abla$, $ abla$ といった基数不変量を用いて分析されている。
• 特に $P$-点および超フィルターの存在に関連して、強制法とモデル理論的技法を用いて一貫性結果を確立している。
• 単純な $P$-点基底と擬似交叉の概念を用いて、${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ のような分裂性質の加法的性を分析している。
• 位相的性質と集合族の組合せ論的性質との間の同値性、特にScheepers図とその拡張の文脈において、その分析に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Scheepers図の文脈において、性質 ${ abla}_{1}( abla, abla)$ の加法的数の正確な値は何か？
• RQ2 性質 ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ は証明可能に $ abla$-加法的であるか、それとも一貫的にしかそうではないか？
• RQ3 ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ の加法的数は、$ abla$ の下限を超えて改善可能か？
• RQ4 ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ の加法的数と基数 $ abla$ の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 ${ abla}_{1}( abla, abla)$ が加法的である一貫したモデルは存在するか？ そしてこれは ${ abla}_{1}( abla, abla) = { abla}_{1}( abla, abla)$ の同値性にどのような含意を持つのか？

主な発見

• ${ abla}_{1}( abla, abla)$ の加法的数は正確に $ abla$ であり、${ abla}_{1}( abla, abla) = { abla}_{1}( abla, abla)$ である場合に限り $ abla$-加法的である。
• ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ の加法的数は正確に $ abla$ であり、証明可能に $ abla$-加法的である。
• ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ の加法的数は正確に $ abla$ であり、証明可能に $ abla$-加法的である。
• ${ abla}_{1}( abla, abla)$ の加法的数は正確に $ abla$ であり、${ abla}_{1}( abla, abla) = { abla}_{1}( abla, abla)$ である場合に限り $ abla$-加法的である。
• ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ の加法的数は正確に $ abla$ であり、証明可能に $ abla$-加法的である。
• ${ abla}_{ abla}( abla, abla)$ の加法的数は正確に $ abla$ であり、証明可能に $ abla$-加法的である。