[論文レビュー] Additivity of higher rho invariants and nonrigidity of topological manifolds

Shmuel Weinberger, Zhizhang Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 75被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、次元 ≥5 のトポロジカル多様体における高次ラho不変量の加法性を確立し、それらがトポロジカル構造群から幾何的C*-代数のK理論群への群準同型を定義することを示している。主な貢献は、この加法性を用いて、基本群のねじれ元を用いて代数的に簡約化された構造群の自由ランクに対する下界を導出し、また新しいホモロジー的高次ラho不変量を用いて、特定の多様体に対して構造群が有限生成でないことを示したことにある。

ABSTRACT

Let $X$ be a closed oriented connected topological manifold of dimension $n\geq 5$. The structure group of $X$ is the abelian group of equivalence classes of all pairs $(f, M)$ such that $M$ is a closed oriented manifold and $f\colon M o X$ is an orientation-preserving homotopy equivalence. The main purpose of this article is to prove that a higher rho invariant defines a group homomorphism from the topological structure group of $X$ to the $C^*$-algebraic structure group of $X$. In fact, we introduce a higher rho invariant map on the homology manifold structure group of a closed oriented connected $ extit{topological}$ manifold, and prove its additivity. This higher rho invariant map restricts to the higher rho invariant map on the topological structure group. More generally, the same techniques developed in this paper can be applied to define a higher rho invariant map on the homology manifold structure group of a closed oriented connected $ extit{homology}$ manifold. As an application, we use the additivity of the higher rho invariant map to study non-rigidity of topological manifolds. More precisely, we give a lower bound for the free rank of the $ extit{algebraically reduced}$ structure group of $X$ by the number of torsion elements in $π_1 X$. Here the algebraic reduced structure group of $X$ is the quotient of the topological structure group of $X$ modulo a certain action of self-homotopy equivalences of $X$. We also introduce a notion of homological higher rho invariant, which can be used to detect many elements in the structure group of a closed oriented topological manifold, even when the fundamental group of the manifold is torsion free. In particular, we apply this homological higher rho invariant to show that the structure group is not finitely generated for a class of manifolds.

研究の動機と目的

• 次元 ≥5 の閉じた向き付けられたトポロジカル多様体 X のトポロジカル構造群における高次ラho不変量の加法性を確立すること。
• 高次ラho不変量写像をホモロジー多様体の構造群に拡張し、トポロジカルな場合を一般化すること。
• 高次ラho不変量の加法性を用いて、代数的に簡約化された構造群の自由ランクに対する下界を導出し、多様体の非剛性を検出すること。
• 基本群がねじれを含まない場合でも構造群の非自明な元を検出できるホモロジー的高次ラho不変量を導入すること。
• ホモロジー的高次ラho不変量を用いて、特定のクラスの多様体の構造群が有限生成でないことを証明すること。

提案手法

• 高次ラho不変量を、向きが逆の多様体の直和に作用するシグニチャ作用素の自明化された高次インデックス類から生じる二次的インデックス理論的不変量として定義する。
• トポロジカル構造群 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$ からK理論群 $K_n(C^*_L,0(\widetilde{X})^\Gamma)$ への群準同型を構成する。ここで $\widetilde{X}$ は普遍被覆、$\Gamma = \pi_1X$ である。
• 幾何的C*-代数と周期性写像 $\mathcal{GP}$ を用い、可逆作用素とホモトピー不変性を介して構造群をK理論類と関連付ける。
• 周期性空間の道具を用いて、幾何的周期性写像 $\mathcal{GP}$ が古典的シーベンマン周期性写像 $\mathcal{SP}$ と一致することを証明し、群構造の整合性を保証する。
• 同じ枠組みをホモロジー多様体に適用して、ホモロジー的高次ラho不変量を定義し、標準的不変量を超える構造群の元の検出を可能にする。
• 正規化関数と対称性を用いて可逆作用素の経路を構成し、$K$-理論類 $\rho(\theta \times \mathbb{R}^2)$ を表現することで、それが $\tau_*(\rho(\theta) \otimes \text{Ind}_L(\mathbb{R}^2))$ に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次ラho不変量は、次元 ≥5 の閉じた向き付けられたトポロジカル多様体 X のトポロジカル構造群 $\mathcal{S}^{TOP}(X)$ 上で群準同型を定めるか？
• RQ2 高次ラho不変量はホモロジー多様体の構造群へ拡張可能であり、この設定でも加法的か？
• RQ3 高次ラho不変量と $\pi_1X$ のねじれ元を用いて、代数的に簡約化された構造群の自由ランクに対する下界をどのように確立できるか？
• RQ4 基本群 $\pi_1X$ がねじれを含まない場合でも、ホモロジー的高次ラho不変量は構造群の非自明な元を検出可能か？
• RQ5 特定のトポロジカル多様体の構造群は有限生成でないか？そして、ホモロジー的高次ラho不変量を用いてその事実を検出可能か？

主な発見

• 高次ラho不変量は $\mathcal{S}^{TOP}(X)$ から $K_n(C^*_L,0(\widetilde{X})^\Gamma)$ への群準同型を定め、その加法性を確立している。
• 高次ラho不変量写像は、トポロジカル構造群上では標準的高次ラho不変量に制限され、その定義域がホモロジー多様体へ拡張されている。
• 代数的に簡約化された構造群の自由ランクに対する下界は、$\pi_1X$ のねじれ元の数によって与えられ、非剛性の障害を提供する。
• ホモロジー的高次ラho不変量は、$\pi_1X$ がねじれを含まない場合でも構造群の非自明な元を検出可能であり、不変量の有効範囲を拡張する。
• 特定の閉じた向き付けられたトポロジカル多様体の構造群は、ホモロジー的高次ラho不変量を用いて有限生成でないことが示された。
• 幾何的周期性写像 $\mathcal{GP}$ が古典的シーベンマン周期性写像 $\mathcal{SP（の一致が証明され、$\mathcal{S}^{TOP}(X)$ の群構造の整合性が保証された。