[論文レビュー] Addressing the bias in Monte Carlo pricing of multi-asset options with multiple barriers through discrete sampling

Pavel V. Shevchenko|ArXiv.org|Apr 7, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複数の連続的バリアを持つ多資産バリアオプションの価格設定におけるバイアスを排除するため、ブラウン運動ブリッジに基づくモンテカルロ法を提案する。フリーチェット境界を用いた連合分布の近似と独立した最大値の組み合わせを活用することで、バイアスのない、またはきわめてタイトな境界を持つ推定器を実現し、特に高い相関関係や複雑なバリア構造下でも、標準的な離散的サンプリングよりも収束速度が速くなる。

ABSTRACT

An efficient conditioning technique, the so-called Brownian Bridge simulation, has previously been applied to eliminate pricing bias that arises in applications of the standard discrete-time Monte Carlo method to evaluate options written on the continuous-time extrema of an underlying asset. It is based on the simple and easy to implement analytic formulas for the distribution of one-dimensional Brownian Bridge extremes. This paper extends the technique to the valuation of multi-asset options with knock-out barriers imposed for all or some of the underlying assets. We derive formula for the unbiased option price estimator based on the joint distribution of the multi-dimensional Brownian Bridge dependent extrema. As analytic formulas are not available for the joint distribution in general, we develop upper and lower biased option price estimators based on the distribution of independent extrema and the Fréchet lower and upper bounds for the unknown distribution. All estimators are simple and easy to implement. They can always be used to bind the true value by a confidence interval. Numerical tests indicate that our biased estimators converge rapidly to the true option value as the number of time steps for the asset path simulation increases in comparison to the estimator based on the standard discrete-time method. The convergence rate depends on the correlation and barrier structures of the underlying assets.

研究の動機と目的

• 複数の連続的バリアを持つ多資産オプションの価格設定において、標準的な離散時間モンテカルロ法が持つ持続的なバイアスを解消すること。
• 従来、単一資産オプションにのみ適用されてきた1次元のブラウン運動ブリッジ技術を、連合バリア制約を伴う多資産設定に拡張すること。
• 既知の周辺分布と依存関係の境界を用いて、真のオプション価格を包摂する、実装可能な推定器を開発すること。
• 収束速度と精度を向上させ、特に高い相関関係や複雑なバリア構造下で、標準モンテカルロ法の $1/\sqrt{M}$ のバイアス減衰率を改善すること。
• パス依存型のペイオフと複数のバリアを持つ、例えばノックイン型、ルックバック型、信用デリバティブなど、複雑なデリバティブの効率的評価を可能にすること。

提案手法

• 離散的サンプリング日付間における複数資産の連合極値行動をシミュレートするためにブラウン運動ブリッジ技術を適用し、連続時間の極値のバイアスのない推定を保証する。
• 多次元ブラウン運動ブリッジ極値の連合分布に基づく正確なバイアスのない推定器を導出するが、一般には解析的表現は得られない。
• 未知の極値の連合分布に対するフリーチェットの上界および下界を用いて、真の価格の信頼区間を保証する上界および下界のバイアス推定器を構築する。
• 独立した極値の連合分布に基づく第三の推定器を開発し、これは通常、実用的な近似としてより高い精度を示す。
• 連合分布が扱いにくい場合に、完全正/負の相関または独立性を仮定したヒットタイムの周辺シミュレーションを用いて、複雑なパス依存型オプションを推定する。
• 離散的監視と連続的監視の間のオプション価格の補間を $Q_M \approx Q_c + \lambda/\sqrt{M}$ を用いて行い、高周波監視条件下での精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な離散時間モンテカルロ法による多資産バリアオプションの価格設定におけるバイアスを、体系的に低減または排除する方法は何か？
• RQ2 1次元ブラウン運動ブリッジ法を多資産・多バリア設定に拡張する際の理論的および実用的限界は何か？
• RQ3 連合分布が扱いにくい状況下で、フリーチェット境界と独立した極値の近似が、真のオプション価格に対してタイトかつ計算可能な境界を提供できるか？
• RQ4 提案された推定器の収束速度は、相関関係やバリア構造が異なる条件下で、標準モンテカルロ法と比べてどのように異なるか？
• RQ5 ノックイン型、ルックバック型、信用デリバティブなど、パス依存的特徴を持つ複雑なデリバティブの価格設定に、この手法をどの程度一般化できるか？

主な発見

• 提案されたブラウン運動ブリッジに基づく推定器は、標準的な離散時間モンテカルロ法と比較して顕著にバイアスを低減し、$1/\sqrt{M}$ の減衰率を上回る収束速度を示す。
• フリーチェット境界に基づく上界および下界のバイアス推定器は、真のオプション価格を一貫して包摂し、信頼区間推定を可能にする。
• 独立した極値に基づく推定器は、通常、最も精度が高く、計算効率も優れている。特に相関が中程度の状況で顕著である。
• 数値実験では、サンプリング日数 $M$ が増加するにつれて、バイアス推定器の収束が著しく速くなることが示され、特に高い相関関係や同一のバリア構造下で顕著である。
• 本手法は、断続的かつ定常なドリフトおよびボラティリティを持つ一般の拡散過程に対しても適用可能であり、対数正規分布の仮定を超えてその有用性を拡張する。
• 本手法により、$Q_M \approx Q_c + \lambda/\sqrt{M}$ を用いて、離散的監視と連続的監視の間のオプション価格を効果的に補間でき、高周波監視の状況でも精度が向上する。