[論文レビュー] ADE bundles over surfaces with ADE singularities

Yunxia Chen, Naichung Conan Leung|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、p_g=0 かつ ADE 特異点をもつコンパクト複素表面に対して、ADE リ代数バンドルおよびその最小分岐解消における最小表現バンドルを構成し、それらがホロモルフィック構造を介して特異表面へと下方に降下可能であることを示している。主な結果は、これらのバンドルが下方に降下可能であるための必要十分条件が、例外的曲線上のコホモロジー的条件に依存することであり、(−1)-曲線の幾何的配置と表現論的構造の間の関係を明確にしている。

ABSTRACT

Given a complex projective surface with an ADE singularity and p_{g}=0, we construct ADE bundles over it and its minimal resolution. Furthermore, we descibe their minuscule representation bundles in terms of configurations of (reducible) (-1)-curves.

研究の動機と目的

• ADE 特異点と p_g=0 をもつコンパクト複素表面に対して ADE リ代数バンドルを構成すること。
• 最小分岐解消 Y における (−1)-曲線の配置に基づいて、最小表現バンドルを記述すること。
• これらのバンドルが分岐解消 Y から特異表面 X へと下方に降下可能な条件を同定すること。
• 幾何的データ（(−1)-曲線および例外的除算）と表現論的データ（最小表現および対称形式）との関係を明らかにすること。

提案手法

• ADE 特異点をもつ表面 X の最小分岐解消 π:Y→X を用い、例外的除算の双対グラフから ADE ルート系を引き受ける。
• Φ を ADE ルート系とするとき、E₀ᵍ を O_Y^⊕n ⊕ ⨁_{α∈Φ} O_Y(α) として、Y 上のホロモルフィックリ代数バンドルとして構成する。
• φ∈Ω^{0,1}(Y,⨁_{α∈Φ⁺} O_Y(α)) を用いてホロモルフィック構造を変形し、∂̄_φ = ∂̄ + ad(φ) が E₀ᵍ 上の新しいホロモルフィック構造を定義する。
• 変形されたバンドル E_φᵍ が各例外的曲線 C_i 上で自明であるための必要十分条件は、[φ_{C_i}|_{C_i}] ≠ 0 である、と示す。ここで H¹(C_i, O_{C_i}(C_i)) ≅ ℂ である。
• 最小表現 V に対して、X の (−1)-曲線 C₀ 上にある (−1)-曲線 l に対する O_Y(l) の直和からなるバンドル L₀^{(ℊ,V)} = ⨁_{l: π(l)=C₀} O_Y(l) を構成する。
• L₀^{(ℊ,V)} が E_φᵍ の作用と両立するホロモルフィック構造 ∂̄_φ を持ち、かつそのコホモロジー的条件が満たされるとき、X へと下方に降下可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ADE 特異点をもつ表面の最小分岐解消 Y 上の ADE リ代数バンドルが、特異表面 X へと下方に降下可能な条件は何か？
• RQ2 ADE リ代数の最小表現バンドルは、Y 上の (−1)-曲線の配置によってどのように幾何的に実現されるか？
• RQ3 コホモロジー類 [φ_{C_i}|_{C_i}] ∈ H¹(C_i, O_{C_i}(C_i)) は、Y から X へのホロモルフィックバンドルの下方降下において果たす役割は何か？
• RQ4 φ ∈ Ω^{0,1}(Y,⨁_{α∈Φ⁺} O_Y(α)) によってパrameter化されるホロモルフィック構造の変形において、リ代数バンドル構造は保存されるか？
• RQ5 最小表現バンドルの対称テンソル構造は、(−1)-曲線の幾何と ADE ルート系とどのように関係しているか？

主な発見

• Y 上の ADE リ代数バンドル E₀ᵍ は、φ ∈ Ω^{0,1}(Y,⨁_{α∈Φ⁺} O_Y(α)) を用いて変形され、∂̄_φ がリ代数構造を保存するホロモルフィックバンドル E_φᵍ にできる。
• 変形されたバンドル E_φᵍ が X へと下方に降下可能であるための必要十分条件は、すべての i に対して [φ_{C_i}|_{C_i}] ≠ 0 である、と H¹(C_i, O_{C_i}(C_i)) ≅ ℂ に於いて成り立つこと。
• 最小表現 V に対して、π(l)=C₀ を満たす (−1)-曲線 l 上のラインバンドルの直和からなるバンドル L₀^{(ℊ,V)} は、E_φᵍ の作用と両立するホロモルフィック構造 ∂̄_φ を持つ。
• V が標準表現の場合、r=2,3,4 に対してそれぞれ ℊ=A_n,D_n,E_6,E_7 について、ホロモルフィック対称多重線形形式 f:⨂^r L_φ^{(ℊ,V)} → O_Y(D) が存在し、E_φᵍ ≅ aut₀(L_φ^{(ℊ,V)}, f) が成り立つ。
• E_φᵍ の第一チャーン類はゼロであり、c₂(E_φᵍ) = dim(ℊ) − rank(ℊ) であるため、バンドルは非自明である。
• 構成は一意ではない：異なる φ の選択により、非同型なホロモルフィック構造が得られる。これは、H¹(Y,O_Y(α)) に於いて ψ≠0 を用いて φ_{α} を φ_{α}+ψ に置き換えることで示される。