[論文レビュー] Adeles on n-dimensional schemes and categories C_n

Денис Васильевич Осипов|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、局所環の層から導かれる入れ子構造を持つフィルター付きベクトル空間を用いて、$n$次元スキームのための新しいカテゴリカル枠組み$C_n$を導入する。$n$次元ノエター的スキーム上のParshin-Beilinsonアーベル群が$C_n$-空間をなすことを証明し、$n$次元局所体$K = k((t_n))\cdots((t_1))$の自己準同型代数を計算する。$n > 1$のとき、連続自己準同型は$C_n$-自己準同型を厳密に含むことが示される。この枠組みは完備化を伴わないBeilinsonの$ȑ\u0211\u0211$-関手の一般化であり、繰り返し極限と整合するフィルター構造と準同型に焦点を当てる。

ABSTRACT

We consider categories C_n, which are very close to the iterated version of Ind Pro limits introduced by A.Bejlinson in his article "How to glue perverse sheaves". We prove that the adelic space on n-dimensional noetherian scheme is an object of C_n.

研究の動機と目的

• 完備化を伴わないBeilinsonの$ȑ\u0211\u0211$-関手を一般化する、入れ子構造を持つ$C_{n-1}$-構造を備えたフィルター付きベクトル空間の新しいカテゴリ$C_n$を定義すること。
• 体$k$上の$n$次元ノエター的スキーム上のアーベル群空間が、そのスキーム上の coherent sheaf によるフィルター付けによって自然に$C_n$-空間であることを示すこと。
• $n$次元局所体$K = k((t_n))\cdots((t_1))$の自己準同型代数$\mathrm{End}_K$を計算し、連続自己準同型の代数とは区別すること。
• $n > 1$のとき、$\mathrm{End}_K$が連続自己準同型の代数の真部分代数であることを確立し、$n=1$の場合との主要な相違点を強調すること。

提案手法

• 帰納的に$C_n$を定義：$C_0$は有限次元$k$-ベクトル空間；$C_n$は各商$F(j)/F(i)$が$C_{n-1}$-構造を持つフィルター付き$k$-ベクトル空間からなる。
• フィルターの優位性を、部分空間を保存し、ターゲットのフィルターを被覆する順序を保つ写像を用いて定義する。
• $C_n$の準同型を、フィルターを保存し、すべての商空間上で$C_{n-1}$の適切な三重対を誘導する$k$-線形写像として定義する。
• $K = k((t_n))\cdots((t_1))$の$n$次元局所体に、$t_1, t_2, \dots, t_n$のべきによる入れ子フィルターを用いて$C_n$-構造を構成する。各因子空間は$C_{n-1}$-構造を持つ。
• 自己準同型$\mathrm{End}_K$を、$\mathrm{End}_{\bar{K}}(\bar{K})$の成分を持つ行列$\{A_{ij}\}_{i,j \in \mathbb{Z}}$として表現し、インデックスの成長条件を課す。
• $n=2$に対して連続的だが$C_n$-準同型でない写像を構成することで、$\mathrm{End}_K \subset \mathrm{End}_k^c(K)$が成り立ち、$n=1$のときのみ等号が成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備化なしに、フィルター構造を用いてBeilinsonの$ȑ\u0211\u0211$-関手を高次元に一般化する方法は何か？
• RQ2 体$k$上の$n$次元ノエター的スキーム上のParshin-Beilinsonアーベル群空間は、coherent sheaf によるフィルター付けの下で自然に$C_n$-空間であるか？
• RQ3 $n$次元局所体$K = k((t_n))\cdots((t_1))$の自己準同型代数$\mathrm{End}_K$の構造は何か？
• RQ4 $n > 1$のとき、$\mathrm{End}_K$は連続$k$-線形自己準同型の代数$\mathrm{End}_k^c(K)$とどのように比較できるか？
• RQ5 $C_n$-準同型は、$n$次元局所体の$\mathrm{End}_{\bar{K}}$上の行列代数に埋め込めるか？

主な発見

• 体$k$上の$n$次元ノエター的スキーム上のParshin-Beilinsonアーベル群空間は、そのスキーム上の coherent sheaf の部分集合による半順序集合によるフィルター付けの下で自然に$C_n$-空間である。
• $n$次元局所体$K = k((t_n))\cdots((t_1))$の自己準同型代数$\mathrm{End}_K$は、$k$-線形写像からなる。その行列表現$\{A_{ij}\}$は、$A_{ij} = 0$（$j < a(i)$）を満たし、$i \to \infty$のとき$a(i) \to \infty$となる非減少インデックス成長条件を満たす。
• $n=1$のとき$\mathrm{End}_K = \mathrm{End}_k^c(K)$であるが、$n > 1$のとき$\mathrm{End}_K$は$\mathrm{End}_k^c(K)$の真部分代数である。これは、$n=2$に対して連続的だが$C_n$-準同型でない写像を構成することで示された。
• $\mathrm{End}_K^{\oplus m} \hookrightarrow \mathrm{End}_K$の埋め込みが存在し、したがって$gl(m,K) \hookrightarrow \mathrm{End}_K$も成り立つ。これにより、$\mathrm{End}_K$が$K$上の行列代数を含むことが示された。
• $K$への$C_n$-構造は、$t_1, \dots, t_n$のべきによる入れ子フィルターで構成される標準的$C_n$-構造を支配しており、これは自然かつ最大の構造であることを示している。
• $C_n$-カテゴリ枠組みは、Beilinsonの$ȑ\u0211\u0211$-関手の非完備化・フィルター化されたバージョンを提供し、高次元スキーム上の調和解析に適している。