[論文レビュー] Adelic Formulas for Gamma and Beta Functions of One-Class Quadratic Fields: Applications to 4-Particle Scattering String Amplitudes

V. S. Vladimirov|ArXiv.org|Apr 13, 2000

advanced mathematical theories参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1類体である二次体におけるガンマ関数およびベータ関数の正則化されたアデール的公式を導出し、それらをストリング理論および超対称ストリング理論における4粒子散乱振幅の計算に応用する。解析接続およびp進正則化を用いて、ヘテロティック弦とラモンド–ネヴィュー–シュワーツ超弦振幅の明示的関係を確立し、特定のガンマ関数の組み合わせを通じて、ある振幅が質量なし超弦振幅に比例することを明らかにする。

ABSTRACT

Regularized adelic formulas for gamma and beta functions for arbitrary quasicharacters (either ramified or not) and in an arbitrary field of algebraic numbers are concretized as applied to one-class quadratic fields (and to the field of rational numbers). Applications to 4-tachyon tree string amplitudes, to the Veneziano (open strings) and Virasoro (closed strings) amplitudes as well as to massless 4-particle amplitudes of the Ramond-Neveu-Schwarz superstring and a heterotic string are discussed. Certain relations between different superstring amplitudes are established.

研究の動機と目的

• 有理数体および一般代数的数体における既存の研究を拡張し、1類二次体におけるガンマ関数およびベータ関数の正則化されたアデール的公式を一般化すること。
• これらの公式を用いて、開弦理論および閉弦理論における4タキオンの木レベル散乱振幅を計算すること。
• アデール的正則化を用いて、ラモンド–ネヴィュー–シュワーツ超弦理論とヘテロティック弦理論の質量なし4粒子振幅の間の定量的関係を確立すること。
• すべての有限位において局所的特徴の位数が同一である必要がないという技術的制約を、以前の定式化から排除すること。
• 超弦理論の文脈において、異なる振幅解の物理的意味と、準キャラクターおよびイデール群を用いた数学的構造の両者を調査すること。

提案手法

• イデール群上の準キャラクターを用いて、1類二次体におけるガンマ関数およびベータ関数の正則化されたアデール的公式を導出する。非分岐および分岐の両方のキャラクターを含む。
• ガンマ関数の関数-equationと解析接続を用いて、特にヴェネツィアノ振幅およびヴァイラソロ振幅の異なる振幅成分を関連付ける。
• イデール群のp進およびアデール的構造を用いて、局所的ガンマ関数をアーキメデス的および非アーキメデス的成分に分解し、無限大位とp進位に特に注意を払う。
• 超弦振幅を記述するために、特定の符号およびべき乗パラメータを有するアーキメデス的ガンマ関数の3重積として定義されるプライム付きベータ関数 $ \mathrm{B}'_{\infty} $ を導入する。
• これらの公式を用いて、特定の引数と正規化因子を有するガンマ関数で表される4つの異なる振幅 $ A^{(1)}_{\infty}, A^{(2)}_{\infty}, A^{(3)}_{\infty}, A^{(4)}_{\infty} $ の明示的表現を計算する。
• 畳み込み恒等式および関数的関係を用いて、$ V_{110}(s,t,u) $、$ V_{101}(s,t,u) $、$ V_{011}(s,t,u) $ などの異なる振幅成分を関連付け、置換対称性および変換則の下でそれらが等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐準キャラクターを含む1類二次体に対して、ガンマ関数およびベータ関数の正則化されたアデール的公式をどのように拡張できるか。
• RQ2 アデール的正則化を用いた場合、ヘテロティック弦およびラモンド–ネヴィュー–シュワーツ超弦理論における4粒子散乱振幅の明確な数学的構造は何か。
• RQ3 ヴェネツィアノ振幅およびヴァイラソロ振幅は、関数方程式および解析接続を通じて、どのように超弦振幅と関係づけられるか。
• RQ4 プライム付きベータ関数 $ \mathrm{B}'_{\infty} $ は、異なる超弦振幅成分を統一的または関連付けるために用いることができるか。
• RQ5 イデール群および準キャラクターは、1類体における一貫性のあるアデール的振幅を構築する上で果たす役割は何か。

主な発見

• $ A^{(1)}_{\infty}(s,t,u) $ および $ A^{(3)}_{\infty}(s,t,u) $ は、質量なし超弦振幅 $ A_{\infty}(s/4,t/4,u/4) $ に比例しており、ヘテロティック弦と超弦振幅の間の直接的な関係を確立する。
• 公式 $ A^{(1)}_{\infty}(s,t,u) = \frac{-i}{16\pi} \frac{(16-s)(8-s)s}{(8+t)(8+u)} \Gamma_{\infty}(-s/8;1)\Gamma_{\infty}(-t/8;1)\Gamma_{\infty}(-u/8;1) $ は、特定のパラメータを有するアーキメデス的ガンマ関数で1つの振幅成分を明示的に表現している。
• 振幅 $ A^{(2)}_{\infty}(s,t,u) $ は $ \frac{i}{16\pi} \frac{(8-s)s}{8+u} \Gamma_{\infty}(-s/8;0)\Gamma_{\infty}(-t/8;0)\Gamma_{\infty}(-u/8;1) $ として与えられ、ガンマ関数のパラメータに対する異なる関数的依存性を示している。
• 振幅 $ A^{(4)}_{\infty}(s,t,u) $ は $ \frac{is}{16\pi} \Gamma_{\infty}(-s/8;1)\Gamma_{\infty}(-t/8;0)\Gamma_{\infty}(-u/8;0) $ として表現されており、他の振幅とは異なる解析的構造を示している。
• 3つの非自明なヴェネツィアノ振幅 $ V_{110}, V_{101}, V_{011} $ は置換対称性によって関連づけられ、式 (4.29) に示されるように、$ \alpha $ および $ \alpha' $ を含む変換を介して標準ヴェネツィアノ振幅 $ V $ で表現可能である。
• プライム付きベータ関数 $ \mathrm{B}'_{\infty}(\alpha,\nu;\beta,\mu;\gamma,\eta) = \Gamma_{\infty}(\alpha;\nu)\Gamma_{\infty}(\beta;\mu)\Gamma_{\infty}(\gamma;\eta) $ で、$ \nu+\mu+\eta=1 $ かつ $ \alpha+\beta+\gamma=0 $ を満たすものにより、畳み込み恒等式を通じて超弦振幅の統一的記述が可能となる。