[論文レビュー] ADI finite difference schemes for option pricing in the Heston model with correlation

Karel in ’t Hout, S. Foulon|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 181

ひとこと要約

本稿では、資産価格過程とボラティリティ過程の間の確率的相関に起因する混合微分項を有するHeston PDEを解くために、4つの適応型交替方向隠れ陽解法（ADI）有限差分スキーム—Douglas、Craig & Sneyd、修正版Craig & Sneyd、Hundsdorfer & Verwer—を提案し、その分析を行っている。これらのスキームは無条件安定であり、ヨーロピアンオプションおよびバリアオプションの価格設定において非常に効果的であることが示された。特に3つのスキームは、現実的な市場パラメータ下でも極めて頑健で高精度であることが確認された。

ABSTRACT

This paper deals with the numerical solution of the Heston partial differential equation that plays an important role in financial option pricing, Heston (1993, Rev. Finan. Stud. 6). A feature of this time-dependent, two-dimensional convection-diffusion-reaction equation is the presence of a mixed spatial-derivative term, which stems from the correlation between the two underlying stochastic processes for the asset price and its variance. Semi-discretization of the Heston PDE, using finite difference schemes on a non-uniform grid, gives rise to large systems of stiff ordinary differential equations. For the effective numerical solution of these systems, standard implicit time-stepping methods are often not suitable anymore, and tailored time-discretization methods are required. In the present paper, we investigate four splitting schemes of the Alternating Direction Implicit (ADI) type: the Douglas scheme, the Craig & Sneyd scheme, the Modified Craig & Sneyd scheme, and the Hundsdorfer & Verwer scheme - each of which contains a free parameter. ADI schemes were not originally developed to deal with mixed spatial-derivative terms. Accordingly, we first discuss the adaptation of the above four ADI schemes to the Heston equation. Subsequently, we present various numerical examples with realistic data sets from the literature, where we consider European call options as well as down-and-out barrier options. Combined with ample theoretical stability results for ADI schemes that have recently been obtained in In 't Hout & Welfert (2007, Appl. Numer. Math.), we arrive at three ADI schemes that all prove to be very effective in the numerical solution of the Heston PDE with a mixed derivative term.

研究の動機と目的

• 資産価格過程とボラティリティ過程の間の相関に起因する混合空間微分項を有する、時間依存で二次元のHeston PDEを数値的に解く課題に対処すること。
• 元来混合微分項を想定していない古典的AD Iスキームを、Hestonモデルの枠組みで効果的に使用できるように適応すること。
• Heston PDEに相関が含まれる状況下で、4つのAD Iスキーム（Douglas、Craig & Sneyd、修正版Craig & Sneyd、Hundsdorfer & Verwer）の安定性と精度を評価すること。
• 非一様グリッド上でのHeston PDEの半離散化から生じる剛性を示すODE系に対する信頼性の高い数値解法を提供すること。
• 実際の市場データを用いた数値実験を通じて、適応型AD Iスキームの実用的有効性を、さまざまなオプションタイプに関して示すこと。

提案手法

• 非一様空間グリッド上での有限差分スキームを用いたHeston PDEの半離散化により、大規模な剛性ODE系が得られる。
• Heston PDEに含まれる混合微分項を処理できるように、4つのAD Iスキーム（Douglas、Craig & Sneyd、修正版Craig & Sneyd、Hundsdorfer & Verwer）を適応すること。
• 各AD Iスキームに自由パラメータを組み込み、安定性および収束特性を最適化すること。
• In 't Hout & Welfert (2007) が得た理論的安定性結果を応用し、適応型スキームの安定性を検証すること。
• 剛性問題に適したタイムステッピング法を用いて、得られたODE系を数値的に解くこと。
• ヨーロピアンコールオプションおよびダウンアンドアウトバリアオプションを含むベンチマークオプション価格設定問題に対する実装とテストを、現実的なHestonモデルパラメータを用いて実施すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的AD Iスキームは、基礎的過程間の相関に起因するHeston PDEの混合微分項を効果的に適応可能か？
• RQ2 混合微分項を有するHeston PDEに適用した場合、どのAD Iスキームが無条件安定性と高い精度を維持するか？
• RQ3 適応型AD Iスキームは、現実的な市場条件下で、標準的なヨーロピアンオプションおよび経路依存型バリアオプションの価格設定において、どのように性能を発揮するか？
• RQ4 各AD Iスキームに組み込まれた自由パラメータは、数値解の収束性および安定性にどのような影響を及えるか？
• RQ5 In 't Hout & Welfert (2007) が提示した理論的安定性結果は、相関を有するHestonモデルの文脈において、適応型AD Iスキームにどの程度適用可能か？

主な発見

• Douglas、修正版Craig & Sneyd、およびHundsdorfer & Verwerスキームは、混合微分項を有するHeston PDEを解く上での無条件安定性と高い有効性を示した。
• 適応型AD Iスキームは、ヨーロピアンコールオプションおよびダウンアンドアウトバリアオプションを含むさまざまなテストケースにおいて、頑健な収束性と高い精度を示した。
• 数値実験により、非一様グリッド上での半離散化から生じる剛性ODE系を解く場合でも、これらのスキームが安定性と効率性を維持することが確認された。
• 各スキームに自由パラメータを組み込むことで、数値的性能の最適化が可能となり、安定性の向上と数値的拡散の低減が達成された。
• In 't Hout & Welfert (2007) の理論的安定性枠組みが、相関を有するHestonモデルの文脈においても正当化された。
• 4つのAD Iスキームのうち3つ—Douglas、修正版Craig & Sneyd、Hundsdorfer & Verwer—は、実用的なオプション価格設定応用において特に効果的かつ信頼性が高いことが明らかになった。