[論文レビュー] Adiabatic approximation with better than exponential accuracy for many-body systems and quantum computation

Daniel A. Lidar, A. T. Rezakhani+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2008

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、摂動的量子計算に特化した改良された断熱定理を提示する。解析的ハミルトニアンの時間発展演算、端点における時間微分の消滅、非 degenerate でギャップを持つ目的状態という条件下で、時間発展演算状態のfideliy における誤差が発展演算時間に対して指数関数的よりも良いスケーリングを示すことを示している。主な結果は、発展演算時間がハミルトニアンの時間微分ノルムの二乗を最小スペクトルギャップの三乗で割ったものに比例することである。

ABSTRACT

We derive a version of the adiabatic theorem that is especially suited for applications in adiabatic quantum computation, where it is reasonable to assume that the adiabatic interpolation between the initial and final Hamiltonians is controllable. Assuming that the Hamiltonian is analytic in a finite strip around the real time axis, that some number of its time-derivatives vanish at the initial and final times, and that the target adiabatic eigenstate is non-degenerate and separated by a gap from the rest of the spectrum, we show that one can obtain an error between the final adiabatic eigenstate and the actual time-evolved state which is exponentially small in the evolution time, where this time itself scales as the square of the norm of the time-derivative of the Hamiltonian, divided by the cube of the minimal gap.

研究の動機と目的

• 断熱定理の改良を通じて、量子計算における断熱的状態準備の精度を向上させること。
• 標準的な断熱定理が指数関数的でない誤差スケーリングを達成するのを制限する点を解消すること。
• 発展演算時間に対して断熱誤差が指数関数的に小さくなる条件を確立すること。
• 初期と最終ハミルトニアンの間で制御可能な補間が可能な、断熱的量子計算の厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• ハミルトニアンが実時間軸の周りの有限なストリップ内で解析的であると仮定し、解析接続技術を可能にする。
• ハミルトニアンの最初の数個の時間微分が初期時刻および最終時刻で消えるように制約を課し、非断熱遷移を抑制する。
• スペクトルギャップの条件を用いて、目的固有状態が非縮退であり、残りのスペクトルから分離されていることを保証する。
• 複素解析と時間に依存する摂動論を適用して、他の固有状態への遷移振幅を評価する。
• 発展演算時間とスペクトルギャップの観点から、実際の時間発展演算状態と目的の断熱固有状態との間の誤差の上限を導出する。
• 発展演算時間が ||Ḣ||² / Δ³ に比例することを示す。ここで ||Ḣ|| はハミルトニアンの時間微分のノルム、Δ は最小ギャップである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子計算の現実的仮定のもとで、発展演算時間に対して断熱誤差を指数関数的よりも小さくできるか？
• RQ2 ハミルトニアンの時間依存性およびスペクトル構造にどのような条件が、指数関数的でない誤差スケーリングを可能にするか？
• RQ3 端点における時間微分の消滅が、多体系における断熱誤差にどのように影響するか？
• RQ4 ハミルトニアンの時間微分ノルムとスペクトルギャップに関して、発展演算時間の最適スケーリングは何か？
• RQ5 ハミルトニアンが複素ストリップ内で解析的であることは、断熱発展演算における収束上限の改善に寄与するか？

主な発見

• 提示された条件下で、時間発展演算状態と目的固有状態との間の断熱誤差は、発展演算時間に対して指数関数的に小さくなる。
• 発展演算時間は、ハミルトニアンの時間微分ノルムの二乗を最小スペクトルギャップの三乗で割ったものに比例する。
• ハミルトニアンの高次時間微分を端点で消滅させることで、誤差抑制が強化される。
• ハミルトニアンが複素ストリップ内で解析的であることで、曲線積分と複素解析を用いたよりタイトな上限の導出が可能になる。
• 非縮退で、残りのスペクトルからギャップで分離された目的状態に対して、この結果は成り立つ。
• このフレームワークは、初期と最終ハミルトニアンの間で制御可能な補間が可能な断熱的量子計算に特に適している。