[論文レビュー] Adiabatic Geometrical Phase for Scalar Fields in a Curved Spacetime

Alí Mostafazadeh|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 1996

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、クライン=ゴルドン方程式の2成分形式を用いて、曲がった時空における相対論的スカラー場へベリーの断熱的幾何位相を一般化する。位相のフレームワークは、場の解空間の内積に依存せず、空間的L²内積のみに依存する。主な結果として、ビアンキIモデルでは位相が消え、ビアンキIXモデルでは非アーベル的位相が現れる。これは核四極モーメントハミルトニアンと類似している。

ABSTRACT

A convenient framework is developed to generalize Berry's investigation of the adiabatic geometrical phase for a classical relativistic charged scalar field in a curved background spacetime which is minimally coupled to electromagnetism and an arbitrary (non-electromagnetic) scalar potential. It involves a two-component formulation of the corresponding Klein-Gordon equation. A precise definition of the adiabatic approximation is offered and conditions of its validity are discussed. It is shown that the adiabatic geometric phase can be computed without making a particular choice for an inner product on the space of solutions of the field equations. What is needed is just an inner product on the Hilbert space of the square integrable functions defined on the spatial hypersurfaces. The two-component formalism is applied in the investigation of the adiabatic geometric phases for several specific examples, namely, a rotating magnetic field in Minkowski space, a rotating cosmic string, and an arbitrary spatially homogeneous cosmological background. It is shown that the two-component formalism reproduces the known results for the first two examples. It also leads to several interesting results for the case of spatially homogeneous cosmological models. In particular, it is shown that the adiabatic geometric phase angles vanish for Bianchi type I models. The situation is completely different for Bianchi type IX models where a variety of nontrivial non-Abelian adiabatic geometrical phases can occur. The analogy between the adiabatic geometric phases induced by the Bianchi type IX backgrounds and those associated with the well-known time-dependent nuclear quadrupole Hamiltonians is also pointed out.

研究の動機と目的

• 断熱的幾何位相の概念を、元々量子系に開発されたものから、曲がった時空における古典的相対論的スカラー場へ拡張すること。
• 場の解空間に特定の内積を要求しない、幾何位相を計算するフレームワークを構築すること。
• 特定の物理的状況における幾何位相を分析すること：ミンコフスキー時空における回転磁場、回転する宇宙ひも、空間的に一様な宇宙論的モデル。
• 相対論的場の理論における断熱近似が成り立つ条件を明確にすること。
• ビアンキ型IX宇宙論的モデルにおいて非アーベル的幾何位相がどのように出現するかを調査すること。

提案手法

• 曲がった時空における電磁場および任意のスカラー場ポテンシャルを伴う、最小に結合されたスカラー場のダイナミクスを記述するため、クライン=ゴルドン方程式の2成分形式を導入する。
• 背景パラメータの緩やかな変化に基づいて、断熱近似を明確に定義し、場の運動方程式から有効性の条件を導出する。
• 幾何位相を空間超曲面上に定義された内積を用いて計算し、場の解空間の構造に依存しないようにする。
• 3つの事例研究にこの形式を適用する：回転磁場、回転する宇宙ひも、空間的に一様な宇宙論的モデル。
• ビアンキモデルの場合、2成分の時間発展方程式から導かれる接続のホロノミーを用いて幾何位相を分析する。
• ビアンキIX背景と時間に依存する核四極モーメントハミルトニアンとの間で、幾何位相構造の同型性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断熱的幾何位相を、曲がった時空における相対論的スカラー場へ一貫して一般化する方法は何か？
• RQ2 相対論的場の理論において断熱近似が成り立つための条件は何か？
• RQ3 場の解空間に内積を指定しなくても、幾何位相を計算することは可能か？
• RQ4 空間的に一様な宇宙論的モデル、特にビアンキI型とIX型において、幾何位相の構造はどのようなものか？
• RQ5 回転する宇宙ひも背景における幾何位相の性質は何か？

主な発見

• ミンコフスキー時空における回転磁場に対する断熱的幾何位相は、2成分形式によって正しく再現される。
• 回転する宇宙ひもモデルは、既知の結果と整合する幾何位相をもたらし、形式の妥当性が裏付けられる。
• ビアンキI型宇宙論的モデルでは、ホロノミーのアーベル性に起因し、断熱的幾何位相角が恒等的に消える。
• ビアンキIXモデルでは、非自明な非アーベル的幾何位相が出現し、ホロノミーに起因する位相の豊かな構造が示される。
• ビアンキIXモデルにおける幾何位相構造は、時間に依存する核四極モーメントハミルトニアンと同型であり、幾何位相物理学における深い類似性を示唆する。
• 形式は、解空間に内積を固定することなく、幾何位相を計算可能であり、空間的L²内積のみに依存する。