[論文レビュー] Adiabatic Limit and Deformations of Complex Structures

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素構造の変形に関して閉性を示すために、正則なモイシェゾン多様体族の中心ファイバーが自身でモイシェゾンであることを確立する。これは、複素構造の変形における閉性を示すものである。また、複素数体ℂ上の正則ベクトル束を導入し、h=0におけるファイバーがフロイリッヒスペクトル系列の退化ページに同型であるようにし、コhomologicalな極限を解析するための緩和された強ガウディュシュン計量（E_r-sG）の概念を定義する。

ABSTRACT

Based on our recent adaptation of the adiabatic limit construction to the case of complex structures, we prove the fact that the deformation limiting manifold of any holomorphic family of Moishezon manifolds is Moishezon. Two new ingredients, hopefully of independent interest, are introduced. The first one associates with every compact complex manifold $X$, in every degree $k$, a holomorphic vector bundle over $\C$ of rank equal to the $k$-th Betti number of $X$. This vector bundle, previously given an algebraic construction in the literature, shows that the degenerating page of the Frölicher spectral sequence of $X$ is the holomorphic limit, as $h\in\C^\star$ tends to $0$, of the $d_h$-cohomology of $X$, where $d_h=h\partial + \bar\partial$. A relative version of this vector bundle is then associated with every holomorphic family of compact complex manifolds. The second ingredient is a relaxation of the notion of strongly Gauduchon (sG) metric that we introduced in 2009. For a given positive integer $r$, a Gauduchon metric $γ$ on an $n$-dimensional compact complex manifold $X$ is said to be $E_r$-sG if $\partialγ^{n-1}$ represents the zero cohomology class on the $r$-th page of the Frölicher spectral sequence of $X$. Strongly Gauduchon metrics coincide with $E_1$-sG metrics.

研究の動機と目的

• 正則なモイシェゾン多様体族の中心ファイバーがモイシェゾンであることを証明し、変形に関して閉性を確立する。
• 複素幾何におけるアディアバティック極限構成の概念的枠組みを提供し、従来の特殊な処理を拡張する。
• h=0におけるファイバーがフロイリッヒスペクトル系列の退化ページを捉える正則ベクトル束を、ℂ上に自然に定義する。
• 強ガウディュシュン計量の緩和版（E_r-sG計量）を定義・研究し、変形下でのコhomologicalな振る舞いを解析するための道具とする。
• 繰り返し逆作用素を用いたラプラシアンの反復構成により、微分形式の新たな直交分解を確立し、d_h作用素に対するホッジ理論を精緻化する。

提案手法

• コンパクト複素多様体X上で、h=0で∂̄、h=1でdに内挿する作用素d_h = h∂ + ∂̄を導入する。
• h ∈ ℂ*におけるファイバーがd_h-コホモロジーに同型であり、h=0におけるファイバーがフロイリッヒスペクトル系列のE_1ページに同型である正則ベクトル束を構成する。
• d_h作用素を用いたアディアバティック極限技術により、極限のコホモロジーとスペクトル系列の退化ページを関連付ける。
• E_r-sG計量を、r番目のページにおけるフロイリッヒスペクトル系列上で∂γ^{n−1}がゼロコホモロジー類を表すようなヘルメート計量γとして定義する。
• 微分形式(p,q)に対し、高階ラプラシアンΔ̃^{(r)}の再帰的構成を進め、H_r^{p,q} = ker Δ̃^{(r)} ⊂ ⋯ ⊂ H_1^{p,q} = H^{p,q}_{BC}という調和空間のフィルトレーションを導く。
• 各rに対して、C^∞_{p,q}(X,ℂ)の3空間直交分解を確立し、それには直前のラプラシアンの反復解体作用素と∂、∂^⋆の像が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則なモイシェゾン多様体族の中心ファイバーは、必ずモイシェゾンであるか？
• RQ2 フロイリッヒスペクトル系列の退化ページは、h→0におけるd_h-コホモロジーの正則極限として実現可能か？
• RQ3 強ガウディュシュン条件の緩和（E_r-sG）は、スペクトル系列の退化をコホモロジー的特徴づけ可能か？
• RQ4 ラプラシアンΔ̃^{(r)}の再帰的構成により、調和空間のフィルトレーションがホッジ分解を精緻化できるか？
• RQ5 繰り返し作用するd_h作用素とその随伴作用素によって誘導される微分形式の直交分解の構造は何か？

主な発見

• 任意のディスク上に正則なモイシェゾン多様体族を定めるとき、中心ファイバーX_0はモイシェゾンである。これは長年の予想を確認するものである。
• 任意のコンパクト複素多様体Xに対して、ℂ上に自然な正則ベクトル束が存在し、h ∈ ℂ*におけるファイバーがH^k_{d_h}(X,ℂ)に同型であり、h=0におけるファイバーがフロイリッヒスペクトル系列のE_1ページに同型である。
• E_r-sG条件は強ガウディュシュン条件を一般化する。E_1-sG計量は、まさに強ガウディュシュン計量に一致する。
• この構成により、H_r^{p,q} = ker Δ̃^{(r)} ⊂ H_{r-1}^{p,q} ⊂ ⋯ ⊂ H_1^{p,q} = H^{p,q}_{BC}という調和空間のネストされたフィルトレーションが得られ、H_r^{p,q}はフロイリッヒスペクトル系列のE_rページに同型である。
• 各rに対して、C^∞_{p,q}(X,ℂ)の3空間直交分解が確立され、その成分には直前のラプラシアンの反復解体作用素と∂、∂^⋆の像が含まれる。
• r番目の反復ラプラシアンΔ̃^{(r+1)}の核は、p_jおよびD_{j-1} = ((Δ̃^{(1)})^{-1}∂^*∂)⋯((Δ̃^{(j-1)})^{-1}∂^*∂)を含む作用素の核の共通部分として特徴づけられる。