[論文レビュー] Adiabatic Limit, Theta Function, and Geometric Quantization

Takahiko Yoshida|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、プリ量子線束を備えたラグランジュトーラスファイブレーション上におけるSpin^cディラク作用素の断熱極限を研究し、ボア-ゾンマーフェルト点によってインデックス付けされたL^2-切断の正規直交族を確立する。整数的（integrable）な場合、これらの切断はボア-ゾンマーフェルトファイバー上でデルタ関数に収束し、ヤコビのシータ関数と関係する。非整数的（non-integrable）な場合、これらの切断は依然として直交的であり、断熱極限においてディラク作用素のノルムが消える。

ABSTRACT

Let $π\colon (M,ω) o B$ be a non-singular Lagrangian torus fibration on a complete base $B$ with prequantum line bundle $\bigl(L, abla^L\bigr) o (M,ω)$. Compactness on $M$ is not assumed. For a positive integer $N$ and a compatible almost complex structure $J$ on $(M,ω)$ invariant along the fiber of $π$, let $D$ be the associated Spin${}^c$ Dirac operator with coefficients in $L^{\otimes N}$. First, in the case where $J$ is integrable, under certain technical condition on $J$, we give a complete orthogonal system $\{ \vartheta_b\}_{b\in B_{ m BS}}$ of the space of holomorphic $L^2$-sections of $L^{\otimes N}$ indexed by the Bohr-Sommerfeld points $B_{ m BS}$ such that each $\vartheta_b$ converges to a delta-function section supported on the corresponding Bohr-Sommerfeld fiber $π^{-1}(b)$ by the adiabatic(-type) limit. We also explain the relation of $\vartheta_b$ with Jacobi's theta functions when $(M,ω)$ is $T^{2n}$. Second, in the case where $J$ is not integrable, we give an orthogonal family $\big\{ { ilde \vartheta}_b\big\}_{b\in B_{ m BS}}$ of $L^2$-sections of $L^{\otimes N}$ indexed by $B_{ m BS}$ which has the same property as above, and show that each $D{ ilde \vartheta}_b$ converges to $0$ by the adiabatic(-type) limit with respect to the $L^2$-norm.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなラグランジュトーラスファイブレーションにおける断熱極限を通じて、幾何学的量子化と実量子化の関係を理解すること。
• 整数的および非整数的なほぼ複素構造の両方において、ボア-ゾンマーフェルト点によってインデックス付けされたL^{\times N}のL^2-切断の正規直交族を構成すること。
• これらの切断の漸近的挙動および断熱極限におけるディラク作用素の作用を分析すること。
• 多様体がトーラスT^{2n}である場合、構成された切断とヤコビのシータ関数との関係を明確にすること。

提案手法

• ラグランジュファイブレーション\pi: M \to Bに沿って不変な、(M,\rho) 上の適切なほぼ複素構造Jを構成する。
• L^{\bigotimes N}に係数をとるSpin^cディラク作用素Dを定義し、L^2-切断へのその作用を研究する。
• 整数的ケースでは、局所的正則データを用いて切断\vartheta_bを定義し、それが完全な直交系をなすことを示す。
• 非整数的ケースでは、類似の漸近的性質を持つ直交族\widetilde{\vartheta}_bを定義する。
• 断熱型極限を用いて、\vartheta_bがデルタ関数に収束することおよびD\widetilde{\vartheta}_bがL^2ノルムで0に収束することを分析する。
• 積分的アフィン構造とモノドロミー作用のプリ量子線束への上昇を活用し、構成の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数的ケースにおいて、L^{\bigotimes N}の正則L^2-切断は断熱極限においてどのように振る舞うか？
• RQ2 M = T^{2n}のとき、構成された切断\vartheta_bとヤコビのシータ関数との正確な関係は何か？
• RQ3 非整数的ケースにおいても、同じ断熱極限挙動を示すL^2-切断の正規直交族を構成可能か？
• RQ4 非整数的ケースにおいて、ディラク作用素Dが非整数的切断\widetilde{\vartheta}_bに作用したとき、L^2ノルムで0に収束するか？
• RQ5 ほぼ複素構造Jがどのような条件下にあれば、次数0の調和スピン角の空間が非自明のまま保たれるか？

主な発見

• 整数的ケースでは、ボア-ゾンマーフェルト点によってインデックス付けされた、L^{\otimes N}の正則L^2-切断の完全な直交系\{\vartheta_b\}_{b \in B_{BS}}が構成される。
• 各\vartheta_bは、断熱極限において、\pi^{-1}(b)に台を持つデルタ関数切断に収束する。
• M = T^{2n}のとき、切断\vartheta_bはヤコビのシータ関数と明示的に関係する。
• 非整数的ケースでは、デルタ関数への同じ漸近的収束を示すL^2-切断の正規直交族\{\widetilde{\vartheta}_b\}_{b \in B_{BS}}が構成される。
• 非整数的ケースにおいて、\|D\widetilde{\vartheta}_b\|_{L^2} \to 0 が断熱極限において成り立つ。
• 構成は、非自明な次数0の調和スピン角の存在を保証する技術的条件に依存しており、これは\Gamma-不変性および可積分性の仮定のもとで満たされる。