[論文レビュー] Adiabatic quantum computing solution of the knapsack problem

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、整数重みナップサック問題を解くための断熱的量子計算（AQC）アプローチを提示し、イジングハミルトニアンを用いて、$n + c$ 量子ビットと $n + \lfloor \log_2 c \rfloor + 1$ 量子ビットの2通りのqubit効率の良い実装を示している。主な貢献は、統計力学とディログラミット関数などの特殊関数を用いて、特に部分和問題のバージョンにおいて、スペクトルギャップの挙動と容易／困難な問題インスタンスの間の相転移を解析的に特徴づけたことである。

ABSTRACT

We illustrate the adiabatic quantum computing solution of the knapsack problem with both integer profits and weights. For problems with $n$ objects (or items) and integer capacity $c$, we give specific examples using both an Ising class problem Hamiltonian requiring $n+c$ qubits and a much more efficient one using $n+[\log_2 c]+1$ qubits. The discussion includes a brief mention of classical algorithms for knapsack, applications of this commonly occurring problem, and the relevance of further studies both theoretically and numerically of the behavior of the energy gap. Included too is a demonstration and commentary on a version of quantum search using a certain Ising model. Furthermore, an Appendix presents analytic results concerning the boundary for the easy-versus-hard problem-instance phase transition for the special case subset sum problem.

研究の動機と目的

• 整数重みおよび利益を伴うNP困難なナップサック問題を解くための断熱的量子計算フレームワークの開発。
• 通常の $n + c$ 量子ビットではなく、$n + \lfloor \log_2 c \rfloor + 1$ 量子ビットを用いる効率的なイジングハミルトニアンの設計により、量子ビット要件の低減。
• 特に容易／困難な相転移付近の領域において、ナップサックインスタンスのAQCにおけるスペクトルギャップ挙動の分析。
• 統計力学と特殊関数を用いた部分和問題の相転移境界の解析的結果の提供。
• AQCと量子探索の関係の探求、特に線形補間によるグローバー探索に類似した高速化が達成できない理由の特定。

提案手法

• ナップサック問題を全重み制約と利益最大化の制約を含むバイナリ最適化問題として定式化。
• イジングモデル形式の問題ハミルトニアンを構築：$ H_p = -\sum_i h_i \sigma_z^i - \sum_{i<j} J_{ij} \sigma_z^i \sigma_z^j $、ナップサックの制約と目的関数を符号化。
• 初期ハミルトニアン $ H_0 = -h_0 \sum_i \sigma_x^i $（横磁場）から出発し、線形補間 $ H(s) = (1-s)H_0 + sH_p $ を用いて問題ハミルトニアン $ H_p $ へ断続的発展。
• 固定選択アイテム数を伴う制約付き部分和問題をモデル化するために、統計力学とグランドカノニカル集合を適用。
• ディログラミット関数 $ \text{Li}_2 $ を用いて、スケーリングエネルギー $ x $、臨界値 $ \kappa_c $、および相転移境界の正確な解析的表現を導出。
• スペクトルギャップと熱力学的量を結ぶ微分関係 $ \kappa_c(\alpha) = \frac{1}{\ln 2} \int \alpha \, dx(\alpha) $ を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナップサック問題を、最小限のqubitオーバーヘッドでイジングハミルトニアンに効率的に符号化する方法は何か？
• RQ2 断続的量子計算における、容易／困難な問題インスタンスの間の相転移とスペクトルギャップの関係は何か？
• RQ3 統計力学を用いて、部分和問題の臨界値 $ \kappa_c $ の解析的表現を導出できるか？
• RQ4 補間関数の選択（例：線形 vs. スケーリング済み）が、量子探索および最適化におけるAQCの性能に与える影響は何か？
• RQ5 特殊関数（例：ディログラミット）は、熱力学的極限におけるエネルギーおよびギャップ挙動を特徴づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、$ n + \lfloor \log_2 c \rfloor + 1 $ 量子ビットのみを用いる、ナップサック問題の効率的なイジングハミルトニアンを構築し、$n + c$ 量子ビットバージョンと比較してリソース要件を顕著に低減した。
• 部分和問題において、$ \kappa_c(\alpha) = \frac{1}{\ln 2} \int \alpha \, dx(\alpha) $ を用いて、相転移境界が解析的に特徴づけられ、ディログラミット関数を含む正確な表現が得られた。
• $ x = 1/4 $ および $ \kappa_c = 1 $ の近傍では、$ x(\kappa_c) = \frac{1}{12}(3 \pm 2\sqrt{6\ln 2}\sqrt{1 - \kappa_c}) $ という関係が導出され、相転移の臨界領域を記述した。
• 低エネルギー極限（$ \alpha \to \infty $）においては、$ x(\kappa_c) \approx \frac{12}{49}(\ln^2 2) \kappa_c^2 $ が得られ、エネルギーが $ \kappa_c $ に対して2次的にスケーリングすることを示した。
• 臨界値 $ \kappa_c $ が $ \alpha \to -\alpha, \mu \to -\mu $ に対して対称的であることが示され、エネルギーおよび密度は補完的対称性を示した。
• 特殊点における正確な閉形式評価が提供され、$ \text{Li}_2(-e^{\alpha_-}) = -\frac{\pi^2}{15} + \frac{1}{2}\ln^2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) $ および $ \text{Li}_2(-e^{\alpha_+}) = -\frac{\pi^2}{10} + \frac{1}{2}\ln^2\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) $ が得られ、$ x $ および $ \kappa_c $ の正確な計算が可能になった。