[論文レビュー] Adiabatic quantum optimization fails for random instances of NP-complete problems

B. L. Altshuler, Hari Krovi+1 more|ArXiv.org|Aug 19, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、アディアバティック量子最適化が、NP完全問題である正確被覆3（EC3）のランダムなインスタンスに対して失敗することを示している。その理由は、アディアバティックな進化の終盤に近い位置で起こる回避レベルクロスイングに起因する指数関数的に小さい固有値ギャップのためである。4次までの摂動理論とアンドリュー・ローカリゼーションの関連を用いて、著者らはこのギャップが問題サイズに指数関数的に依存することを示し、典型的なランダムインスタンスに対しても指数的実行時間が必要であることを示唆している。

ABSTRACT

Adiabatic quantum optimization has attracted a lot of attention because small scale simulations gave hope that it would allow to solve NP-complete problems efficiently. Later, negative results proved the existence of specifically designed hard instances where adiabatic optimization requires exponential time. In spite of this, there was still hope that this would not happen for random instances of NP-complete problems. This is an important issue since random instances are a good model for hard instances that can not be solved by current classical solvers, for which an efficient quantum algorithm would therefore be desirable. Here, we will show that because of a phenomenon similar to Anderson localization, an exponentially small eigenvalue gap appears in the spectrum of the adiabatic Hamiltonian for large random instances, very close to the end of the algorithm. This implies that unfortunately, adiabatic quantum optimization also fails for these instances by getting stuck in a local minimum, unless the computation is exponentially long.

研究の動機と目的

• アディアバティック量子最適化が、EC3のようなNP完全問題のランダムインスタンスを効率的に解けるかどうかを調査すること。
• 特別に設計された難易度の高いインスタンスで観察された失敗が、通常のランダムに生成されたインスタンスに対しても同様に適用されるかどうかを特定すること。
• 大規模なランダムEC3インスタンスにおけるアディアバティックハミルトニアンスペクトルの指数的に小さいギャップの原因を分析すること。
• 失敗のメカニズムと量子系におけるアンドリュー・ローカリゼーションの関連を確立すること。
• 摂動理論が、アディアバティック進化の終盤に近い位置での回避クロスイングの位置と大きさを予測するのに有効かどうかを評価すること。

提案手法

• H(s) = (1-s)H₀ + sHₚ の時間に依存するハミルトニアンを用いて、アディアバティック量子最適化プロトコルを形式化する。ここで Hₚ はEC3問題を符号化している。
• s=1に近い領域における基底状態と第一励起状態のエネルギー分裂を計算するために、4次摂動理論を適用する。
• 2つの異なる解のエネルギー準位がほぼ degenerate になる点 λ_c を特定し、これにより小さなギャップが生じる。
• 回避クロスイングの位置 λ_c ≈ O(N^{-1/8}) のスケーリングを導出する。これは4次摂動係数 C^{(4)} に依存する。
• アディアバティックハミルトニアンとN次元ハイパーキューブ上のアンドリュー・ローカリゼーションモデルとの関連を確立する。
• N=200のランダムEC3インスタンスにおける数値シミュレーションで、λ≈0.51 で回避クロスイングが確認され、摂動理論の予測と整合的であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アディアバティック量子最適化は、特別に設計された難易度の高いインスタンスに限らず、ランダムなNP完全問題インスタンスに対しても失敗するのか？
• RQ2 なぜアディアバティック進化におけるランダムEC3インスタンスの固有値ギャップが指数的に小さくなるのか？
• RQ3 摂動理論は、アディアバティック進化の終盤に近い位置での回避クロスイングの位置と大きさを正確に予測できるのか？
• RQ4 失敗のメカニズムは、量子系におけるアンドリュー・ローカリゼーション現象とどのように関連しているのか？
• RQ5 3-SATのような他のNP完全問題では、2次摂動理論で分裂が現れるため、λ_c ≈ O(N^{-1/4}) の回避クロスイングが生じ、指数的に小さいギャップがはるかに小さいNで観測可能になるのか？

主な発見

• ランダムEC3インスタンスにおけるアディアバティックハミルトニアンに、指数関数的に小さい固有値ギャップが生じ、ある c>0 に対して e^{-cN} のスケーリングを示す。これはs=1に近い位置での回避クロスイングに起因する。
• 回避クロスイングは λ_c ≈ O(N^{-1/8}) で発生し、導出された条件下でギャップが指数関数的に小さくなるためには N > 86,000 ビットの下限が必要である。
• N=200のインスタンスにおける数値シミュレーションで、λ≈0.51 で準位クロスイングが確認され、摂動理論の予測と整合的である。
• 失敗のメカニズムはアンドリュー・ローカリゼーションと関連しており、アディアバティックハミルトニアンはハイパーキューブ上のアンドリュー・モデルと同じ数学的構造を持つ。
• 3-SATのような問題では、分裂が摂動理論の2次に現れるため、λ_c ≈ O(N^{-1/4}) で回避クロスイングが発生し、はるかに小さいNで指数的に小さいギャップが観測可能になる。
• この小さなギャップは、従来のシミュレーションでは観測されていない。その理由は、進化の終盤（s=1に近い）に発生するためで、摂動理論が有効になるには非常に大きなNが必要だからである。