[論文レビュー] Adiabatic time-dependent metrics in PT-symmetric quantum theories

Hynek Bíla|ArXiv.org|Feb 3, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、相互作用の断続的スイッチングと時刻に依存する計量を導入することにより、PT対称量子系における散乱理論の整合的枠組みを提案する。時間依存計量に対する断続的定理が成り立つことが確立され、ユニタリティと整合性が保証され、摂動的計量計算を用いた2つの模型的モデルを通じて検証されている。断続的極限では、一意でない静的計量が再現され、1次項において曖昧性がないことが示された。

ABSTRACT

We introduce an approach to scattering problems in theories with non-Hermitian Hamiltonian, usually known as PT-symmetric quantum theories, by means of the adiabatic switching of the interaction. The modifications of usual methods needed to employ time-dependent metrics are described. We argue that an analogue of the adiabatic theorem hold for time dependent metrics and that its validity forms a necessary condition for consistency of the procedure.

研究の動機と目的

• 非エルミートハミルトニアンと再定義されたスカラー積のため、PT対称量子理論における散乱振幅を定義する際の概念的困難を解消すること。
• 標準的手法が確率の保存や位置演算子の定義に失敗する時間依存計量を散乱過程に一貫して組み込む課題に対処すること。
• 時間依存計量に対する断続的定理が成り立つ条件を確立し、散乱形式的における整合性とユニタリティを保証すること。
• 調和振動子と三次相互作用を有する2つの模型的モデルにおける明示的摂動計算を通じて、このアプローチの有効性を示すこと。
• 断続的進化と静的ハミルトニアンの計量との整合性を要請することにより、計量の曖昧性を排除すること。

提案手法

• 相互作用ハミルトニアンに対して断続的スイッチング手順を採用し、時間間隔Tの間に滑らかにオンにする。これにより散乱状態が定義される。
• すべてのtに対してH(t)†Θ(t) = Θ(t)H(t)を満たす時間依存計量Θ(t)を導入し、ユニタリな時間発展を保証する。
• 断続的極限T → ∞を用いて、時間発展された計量から静的計量Θ^Sを導出し、標準的な静的解に回復する。
• gに関する摂動的に計量方程式を解き、Θ = 1 + gΘ₁ + O(g²)と仮定し、準エルミート性条件に代入してΘ₁を決定する。
• 時間依存計量を用いて定義されるモーラー演算子を用いてS行列を構成し、断続的進化と整合性を保つ。
• 断続的極限において、時間発展された計量がc = d = 0のとき静的計量に収束することを確認し、曖昧性を除去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミートハミルトニアンを持つPT対称量子理論において、散乱振幅を一貫して定義できるか？
• RQ2 時間依存計量を散乱理論に一貫して組み込む方法は何か？ これによりユニタリティが保たれるか？
• RQ3 時間依存計量に対して断続的定理が成り立つか？ これにより散乱形式的の有効性が保証されるか？
• RQ4 断続的進化との整合性を要請することで、計量の曖昧性を排除できるか？
• RQ5 時間依存計量の断続的極限における振る舞いは何か？ また、既知の静的解に回復されるか？

主な発見

• 時間発展計量の断続的極限T → ∞において、c = d = 0の静的計量Θ^S₁が回復され、標準的静的計量計算における曖昧性が解消される。
• 時間依存計量は、発展全般にわたり準エルミート性条件H(t)†Θ(t) = Θ(t)H(t)を満たし、ユニタリな時間発展が保証される。
• 三次相互作用を伴う調和振動子の系では、時間依存計量が周期πで周期的であることが判明し、等間隔スペクトルに対応する。
• 1次摂動計算において、静的計量Θ^S₁がc + d(p² + q²) + pq² + (2/3)p³として明示的に計算され、cとdは任意であるが、断続的極限ではc = d = 0に固定される。
• 時間依存計量を用いたモーラー演算子を用いることで、S行列を一貫して定義でき、全S行列の直接評価を回避できる。
• この枠組みにより、断続的に進化した計量と全ハミルトニアンの静的計量との整合性が保たれ、標準的PT対称的手法が直面する曖昧性が排除される。